1、第四节 函数y= Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用,1.“五点法”作图,2.函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质,教材研读,考点一 函数y=Asin(x+)的图象和性质,考点二 三角函数模型的简单应用,考点突破,1.“五点法”作图 在确定正弦函数y=sin x在0,2上的图象形状时,起关键作用的五个点 的坐标分别是 (0,0) 、 、 (,0) 、 、 (2,0) .,教材研读,2.函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 若函数y=Asin(x+)(A0,0)表示一个振动量,则A叫做 振幅 ,T= 叫做 周期 , f= 叫做 频率 ,x+叫做 相位 ,x=0时 的相位称
2、为 初相 .,3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤 如下:,1.(教材习题改编)要得到函数y=3sin 的图象,只需将函数y=3sin 2x的图象向 平移 个单位长度.,答案 左;,2.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(36)将函数f(x)=cos x图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)= .,答案 cos,解析 将函数f(x)=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐 标不变)得到y=cos x的图象,再将其向右平移 个单位长度得到函数 g(x)
3、=cos =cos 的图象.,3.(教材习题改编)若函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0,2)的部分图 象如图,则该函数的振幅、频率和初相分别是 .,答案 3; ;,解析 由图象可得振幅A=3,最小正周期T=8,则频率f= = ,= = ,函 数f(x)=3sin 的图象过点(1,3),则f(1)=3sin =3, += +2k,k Z,则= +2k,kZ,又0,2),则初相= .,4.(2018江苏如皋高三调研)将函数y=sin 的图象向右平移 个单 位长度,得到函数y=f(x)的图象,则f 的值为 .,答案 -,解析 将y=sin 的图象向右平移 个单位长度得到y=sin=sin
4、2x的图象,所以f(x)=sin 2x, f =sin =- .,5.(2019江苏三校高三模拟)将函数y=2cos 的图象向右平移个单位长度后,所得函数为奇函数,则= .,答案,解析 将函数y=2cos 的图象向右平移 个单位长度后 得到函数y=2cos 的图象,所得函数为奇函数,则 -2= +k,k Z,=- - k,kZ,又0 ,则k=-1,= .,考点一 函数y=Asin(x+)的图象和性质 角度一 三角函数的图象变换 典例1 已知函数y=2sin . (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”画出它在一个周期内的图象; (3)y=2sin 的图象可由y=sin x的图象经过怎
5、样的变换得到?,考点突破,解析 (1)y=2sin 的振幅A=2,周期T= =, 初相= . (2)令X=2x+ ,则y=2sin =2sin X. 列表:,描点并画出该函数在一个周期内的图象:(3)把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到y=sin 的图,象,再把y=sin 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐 标不变),得到y=sin 的图象,最后把y=sin 的图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 的图 象.,解析 y=2cos 2x=2sin 的图象 y=2sin 2x的图象y=2sin 的图象, 故将y=2cos 2x的图象
6、向右平移 个单位长度即可得到y=2sin 的 图象.,探究 若将本例(3)中“y=sin x”改为“y=2cos 2x”,则如何变换?,(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换, 令z=x+,由z取0, , ,2来求出相应的x的值,通过列表得出五点坐 标,描点,连线后得出图象. (2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象 有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法技巧 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的作法,易错警示 三角函数图象左、右平移时应注意的问题 (1)注意平移前后两个函数的名称一致,若不一
7、致,则应先利用诱导公式 化为同名函数. (2)由y=Asin x的图象得到y=Asin(x+)的图象时,需平移的单位数应为 ,而不是|.,典例2 (1)(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)函数f(x)=Asin(x+ ) 的部分图象如图所示,则f(0)= .,角度二 由图象确定y=Asin(x+)的解析式,(2)(2019江苏南通高三模拟)函数f(x)=Asin(x+) 的 部分图象如图所示,现将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得 到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 .,答案 (1) (2)g(x)=sin,解析 (1)由图象可得A= , T= - = ,
8、则T=,=2,易知sin =- 1,则= +2k,kZ,又0 ,则= ,则f(x)= sin ,则f(0)= sin= .,(2)由题图得A=1, T= - = ,所以T= ,故=2.所以sin = 1,结合| ,得= ,所以f(x)=sin ,将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得函数g(x)=sin 2 + =sin 的图象,故g(x)=,sin .,方法技巧 根据函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图象求其解析式时,主要从以下 四个方面入手: (1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A= . (2)b的确定:根据图象的最高点和最低点,即b= . (3)的确定:利用图象先求
9、出周期T,然后由T= (0)来确定.,(4)的确定:由函数图象的特殊点(如最高点、最低点)得到关于的方程,结合的范围确定.,典例3 (2018江苏淮安摸底)函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)当x 时,求f(x)的取值范围.,角度三 函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用,解析 (1)由题图知,A=2, = - = , 解得T=2, 所以=1,所以f(x)=2sin(x+). 将 代入,得2sin =2, 所以sin =1, 所以 += +2k(kZ),即= +2k(kZ),又- ,所以= , 所以f(x)=2sin . (2
10、)当x 时,x+ , 所以sin ,2sin - ,2, 即f(x)- ,2.,方法技巧 解决该类问题一般是先由条件确定函数的解析式,再根据解析式的特 点,结合三角函数的图象与性质求解.,1-1 (2018江苏扬州中学高三模拟)函数y=cos(2x+)(-)的图象 向右平移 个单位后,与函数y=sin 的图象重合,则= .,答案,解析 函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移 个单位后,得到y= cos =cos(2x-+)的图象,该图象与函数y=sin =cos的图象重合,则-+=- ,= .,1-2 (2017江苏常州高三第一学期调研测试)已知函数f(x)=Asin(x+)+ b(A0
11、,0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 .,答案 f(x)=2sin +3,解析 由题图可得 所以A=2,b=3. 易知 =3,故T=12, 所以= = . 所以f(x)=2sin +3. 由f(1)=5,得2sin +3=5,即sin =1,可得 +=2k+ (kZ), 所以=2k+ (kZ). 从而f(x)=2sin +3=2sin +3.,1-3 函数f(x)=sin(x+) 的部分图象如图所示,则函数 f(x)的单调减区间为 .,答案 (kZ),解析 由图象可知f(x)的最小正周期T=4 = ,则=2.又f =sin =1,0 ,则= ,所以 f(x)=sin ,由 +2k2x
12、+ +2k(kZ),解得 +kx +k(kZ),即f(x)的单调减区间为(kZ).,典例4 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y= 3sin +k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 m.,考点二 三角函数模型的简单应用,答案 8,解析 因为函数y=3sin +k的最小值为2, 所以-3+k=2,得k=5, 故这段时间水深的最大值为3+5=8(m).,方法技巧 解决三角函数模型实际应用问题的方法 (1)当函数模型已知时,审清题意,根据条件,确定相应的参数和自变量的 取值范围. (2)当函数模型不清楚时,按下列步骤进行:审题,理出条件和结论,找到,合适的角作为自变量;建立函数模型,设出三角函数表达式,特别注意 自变量的取值范围;用数学知识求出问题的解;把解返回到实际问 题中进行检验,看是否符合实际;书写结论,回答问题.,2-1 在自然界中存在着大量的周期函数,比如声波.若两个声波随时间 的变化规律分别为y1=3 sin 100t,y2=3cos ,则这两个声波合 成后(即y=y1+y2)的声波的振幅为 .,答案 3,解析 y=3 sin 100t+3cos = sin 100t+ cos 100t =3sin , 则振幅为3.,
