1、高考数学（浙江专用）,4.2 三角函数的图象与性质,考点一 三角函数的图象及其变换,考点清单,考向基础1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x在0,2上的图象 的形状时,起关键作用的五个点是 (0,0) 、 、 (,0) 、 、 (2,0) . 2.作y=Asin(x+)(0)的图象主要有以下两种方法:, 0 , , , , 2 来求出相应的x,通过列 表计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象,有两种主要 途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,(1)五点法 用五点法作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量
2、代换,设z=x+,由z取,上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是| 个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (0)个单 位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的. 3.y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A叫做 振幅 , T= 叫做 周期 , f= = 叫做 频率 ,x+叫做 相位 ,x=0时的相位称为 初相 .,考向突破,考向一 三角函数图象的变换,例1 (2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴 向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 ( ) A. B. C.0
3、 D.,解析 将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移 个单位后得到f(x)= sin 的图象,若f(x)=sin 为偶函数,则必有 +=k+,kZ,所以=k+ ,kZ,当k=0时,= .,答案 B,考向二 由图象求解析式,例2 (2017河南天一大联考(三),9)已知函数f(x)=Msin(x+) 的部分图象如图所示,其中A ,C ,点A是 最高点,则下列说法错误的是( ),A.=- B.函数f(x)在 上单调递增 C.若点B的横坐标为 ,则其纵坐标为-2 D.将函数f(x)的图象向左平移 个单位得到函数y=4sin 2x的图象,解析 依题图得,M=4, T= - ,故T=,所以= =
4、2,将 代入f(x) =4sin(2x+)中,得sin =1,所以 +=2k+ (kZ),则=2k- (k Z),因为| ,所以=- ,故A正确;f(x)=4sin ,则f =4sin=4 =-2,故C正确;易知函数f(x)在 上单调递减, 故B错误;因为y=4sin =4sin 2x,所以D正确.,答案 B,考点二 三角函数的性质及其应用,考向基础,考向突破,考向一 奇偶性、对称性和周期性,例1 (2017浙江名校新高考研究联盟测试一,5)已知函数y=cos(x+) (0,0)为奇函数,且A,B分别为函数图象上的最高点与最低点,若| AB|的最小值为2 ,则该函数图象的一条对称轴是 ( )
5、A.x= B.x= C.x= D.x=1,解析 由题意知,= ,且T=2 =4,所以= = ,故y=-sin x, 令 x=k+ ,kZ,得x=2k+1,kZ,故选D.,答案 D,考向二 单调性、最值,例2 已知函数f(x)=4cos xsin (0)的最小正周期是. (1)求函数f(x)在区间x(0,)上的单调递增区间; (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,解析 (1)f(x)=4cos xsin =4cos x =2 sin xcos x-2cos2x+1-1 = sin 2x-cos 2x-1 =2sin -1, 且f(x)的最小正周期是 =,所以=1, 从而f(x)=2sin -
6、1. 令- +2k2x- +2k(kZ),解得- +kx +k(kZ), 所以函数f(x)在x(0,)上的单调递增区间为 和 . (2)当x 时,2x , 所以2x- , 2sin , 所以当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最小值 -1; 当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最大值1, 所以f(x)在 上的最大值和最小值分别为1、 -1.,方法1 三角函数图象变换的解题方法 1.在三角函数图象的变换过程中,一定要弄清哪一个是起始函数,哪一个 是目标函数. 2.在平移变换中,可以通过关键点的平移来判断平移方向和距离.比如: 由函数y=sin 的图象平移得到函数y=sin 的图象,可
7、分别 令2x- =0,2x+ =0,即相当于由点A 平移到点B ,即向左平 移了 个单位. 3.在伸缩变换中,对于横坐标的伸缩,可用三角函数的最小正周期来判断,方法技巧,伸缩的倍数;对于纵坐标的伸缩,可用三角函数的最值来判断伸缩的倍 数.,例1 (2018浙江镇海中学期中,4)将函数f(x)=3sin 图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x) 的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是 ( ) A.x= B.x= C.x= D.x=,解析 解法一:将函数f(x)=3sin 图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍,得到函数y=3sin 的图象,再向右平移
8、 个单位长度,得 g(x)=3sin =3sin 的图象,令2x- =k+ ,kZ,则y=g (x)图象的对称轴是x= + ,kZ,故选C. 解法二:令4x+ =k+ (kZ),得x= + (kZ),即函数y=f(x)的图象的 对称轴方程是x= + (kZ),伸长到原来的2倍,得到x= + (kZ), 向右平移 个单位长度,得到y=g(x)图象的对称轴是x= + ,kZ,故选 C.,答案 C,方法2 三角函数周期和对称轴(对称中心)的求解方法 1.三角函数周期的求解方法:定义法;公式法:函数y=Asin(x+)(y= Acos(x+)的最小正周期T= ,函数y=Atan(x+)的最小正周期T=
9、;图象法:对于含有绝对值符号的三角函数的周期可画出函数的图 象,从而观察出周期大小;转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒 等变换将其转化为y=Asin(x+)+B(或y=Acos(x+)+B或y=Atan(x+) +B)的类型,再利用公式法求得. 2.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法:熟记以下各函数图 象的对称轴与对称中心:y=sin x图象的对称轴为x=k+ ,kZ,对称中心 为(k,0),kZ;y=cos x图象的对称轴为x=k,kZ,对称中心为 ,kZ;y=tan x图象的对称中心为 ,kZ,无对称轴.利用整体代换 思想求解函数y=Asin(x+)图象的对称轴和对称中心,令x
10、+=k+ ,k Z,解得x= ,kZ,即为对称轴方程;令x+=k,kZ,解得x = ,kZ,即为对称中心的横坐标,纵坐标为0.,例2 已知函数f(x)= sin 2x-cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴; (2)当x 时,求f(x)的取值范围.,解题导引 (1) (2),解析 (1)f(x)= sin 2x-cos 2x=2 =2sin , 所以函数f(x)的最小正周期为. 令2x- =k+ (kZ),得x= + (kZ), 故函数f(x)图象的对称轴方程为x= + (kZ). (2)因为x ,所以2x- , 所以sin , 所以f(x)的取值范围是-1,2.,评析 本题
11、考查三角恒等变换,函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象和 性质,考查推理与运算能力.,方法3 三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 1.求函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)或y=Atan(x+)的单调区间时, 一般先将x的系数化为正值(通过诱导公式转化),再把“x+”视为一 个整体,结合基本初等函数y=sin x(或y=cos x或y=tan x)的单调性找到 “x+”在xR上满足的条件,通过解不等式求得单调区间. 2.三角函数的最值和值域问题一般有两种类型:形如y=asin x+b(a0) 或y=acos x+b(a0)的函数的最值或值域问题,利用正、余弦函数的有 界
12、性(-1sin x1,-1cos x1)求解,求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时,要注意考虑三角函数的周期性;形如y=asin2x+bsin x+c,xD (a0)(或y=acos2x+bcos x+c,xD(a0)的函数的最值或值域问题,通过 换元,令t=sin x(或t=cos x),将原函数化为关于t的二次函数,利用配方法求,其最值或值域,求解过程中要注意t的范围.,例3 (1)(2017课标全国,6,5分)函数f(x)= sin +cos 的最 大值为 ( ) A. B.1 C. D. (2)(2017安徽二模,6)函数f(x)=cos (0)的最小正周期是,则其 图象向右平移
13、个单位后对应函数的单调递减区间是 ( ) A. (kZ) B. (kZ) C. (kZ),D. (kZ),解题导引 (1) (2),解析 (1)f(x)= sin +cos = + cos x+ sin x = sin x+ cos x = 2sin = sin , f(x)的最大值为 . 故选A. (2)由函数f(x)=cos (0)的最小正周期是,得 =,解得=2,则f,(x)=cos . 将其图象向右平移 个单位后,对应函数的解析式为y=cos=cos =sin 2x, 由 +2k2x +2k(kZ), 解得所求单调递减区间为 (kZ).故选B.,答案 (1)A (2)B,方法4 由函数
14、图象求解析式的方法 由图象求解析式y=Asin(x+)(A0,0)的一般步骤: (1)由函数的最值确定A的值; (2)由函数的周期来确定的值; (3)由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于的方程,再由的范围 得的值,也可以由起始点的横坐标得的值.,例4 (2017浙江湖州、衢州、丽水联考(4月),18)函数f(x)=2sin(x+) 的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y轴交于点F (0, ),与x轴交于点B,C,且MBC的面积为.(1)求函数f(x)的解析式;,(2)若f = ,求cos 2的值.,解析 (1)因为SMBC= 2BC=, 所以T=2= ,所以=1, 由f(0)=2sin = ,得sin = , 因为0 ,所以= , 所以f(x)=2sin . (2)由f =2sin = ,得sin = , 所以cos 2=1-2sin2= .,
