1、 4.2 同角三角函数的基本关系和诱导公式,1.同角三角函数的基本关系,2.三角函数的诱导公式,教材研读,考点突破,考点一 利用诱导公式化简,考点二 利用诱导公式求值,考点三 同角三角函数的基本关系,1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2+cos2=1 . (2)商的关系: =tan ( +k,kZ) .,教材研读,2.三角函数的诱导公式,易错警示,1.+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上把看成锐角时原函数值的符号; 的正弦(余弦)函数值,等于的余弦(正弦)函数值,前面加上把看成锐角时原函数值的符号.,2.对于与 的奇数倍的和差角的正切值,不能直接用诱导
2、公式求,但可 以用同角三角函数关系将正切化为正弦与余弦的商,再利用正弦函数、 余弦函数的诱导公式解决.如: tan = = = .,1.tan 330等于 ( D ) A. B.- C. D.-,2.已知cos(-80)=k,则tan 100= ( B ) A. B.- C. D.-,3.已知sin = ,则cos 的值为 ( D ) A. B.- C. D.-,4.sin 2 490= - ;cos = - .,5.化简 sin(-)cos(2-)的结果为 -sin2 .,利用诱导公式化简 典例1 化简: .,考点突破,解析 原式= = = =- =- =-1.,规律总结,1.利用诱导公式把
3、任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0到360的角的三角函数 锐角三角函数,2.三角函数式化简的方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角. (3)用因式分解将式子变形,化为最简.,1-1 化简: .,解析 原式= = = = .,典例2 (1)sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)= 1 ; (2)已知cos = ,则cos -sin2 的值为 - .,利用诱导公式求值,解析 (1)原式=-sin 1 200cos 1 290-cos 1 020sin 1 050=-sin(3360+1
4、20)cos(3360+210)-cos(2360+300)sin(2360+330)=-sin 120cos210-cos 300sin 330=-sin(180-60)cos(180+30)-cos(360-60)sin(360-30)=sin 60cos 30+cos 60sin 30= + =1. (2)因为cos =cos =-cos =- ,sin2 =sin2=sin2 =1-cos2 =1- = ,所以cos -sin2 =- - =- .,探究 若本例(2)的条件不变,求sin +sin 的值.,解析 sin =sin =cos = , sin =sin =cos = , 所
5、以sin +sin = .,方法技巧 用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思 想简化解题过程,常见的互余关系有 -与 +, +与 -, +与 -等,常见的互补关系有 -与 +, +与 -, +与 -等.,2-1 求值:sin 690sin 150+cos 930cos(-870)+tan 120tan 1 050.,解析 原式=sin 690 sin 150+cos 930cos 870+tan 120tan 1 050=sin(360+330)sin 150+cos(3602+210)cos(3602+150)+tan 120tan(1805+150)=sin 330
6、sin 150+cos 210cos 150+tan 120tan 150=sin(360-30)sin(180-30)+cos(180+30)cos(180-30)+tan(180-60)tan(180-30)=-sin230+cos230+tan 60tan 30=- + +1= .,同角三角函数的基本关系,典例3 (1)(2017杭州四校高三上期中)已知- 0,sin +cos = ,则的值为 ( B ) A. B. C. D. (2)(2017浙江镇海中学阶段性测试)已知3sin +4cos =5,则tan = .,解析 (1)sin +cos = , 1+2sin cos = 2si
7、n cos =- , (cos -sin )2= ,又- 0sin , cos -sin = , = = = , 故选B.,(2)解法一:由题意知3sin =5-4cos ,两边平方得9sin2=25-40cos +16cos2, 即25cos2-40cos +16=0,得cos = ,则sin = , 故tan = . 解法二:把等式平方得(3sin +4cos )2=25,即 9sin2+24sin cos +16cos2=25(sin2+cos2), 两边同时除以cos2,整理得 16tan2-24tan +9=0,解得tan = . 解法三:设4sin -3cos =x,则 x2+25
8、=(4sin -3cos )2+(3sin +4cos )2=25, 故x=0,则tan = . 解法四:因为3sin +4cos =5sin(+), 其中cos = ,sin = . 易知sin(+)=1,有+=2k+ (kZ),则sin =sin =cos = , cos =cos =sin = , 故tan = . 解法五:设x=cos ,y=sin ,则有4x+3y=5,且x2+y2=1,从而角终边上的点P (x,y)在单位圆上,且在直线l:4x+3y=5上.又直线l与单位圆相切,故直线l与 角的终边所在直线垂直,所以角的终边所在直线的斜率为 ,故tan = = .,方法指导 同角三角
9、函数基本关系式的使用技巧 (1)利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用 =tan可以实现角的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin +cos ,sin cos ,sin -cos这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 和(sin+cos)2+(sin-cos)2=2,可以知一求二. (3)注意公式的逆用及变形应用:1=sin2+cos2,sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.,同类练1 若tan =2,则 +cos2= ( A ) A. B.- C. D.-,解析 tan =2, +cos2= + = += .,同类练2
10、已知sin cos = ,且 ,则cos -sin 的值为 ( D ) A. B. C.- D.-,解析 因为sin cos = , 所以(cos -sin )2=cos2-2sin cos +sin2,=1-2sin cos =1-2 = , 因为 , 所以cos sin ,即cos -sin 0, 所以cos -sin =- .,变式练 已知是三角形的一个内角,且sin 、cos 是关于x的方程4x2+ px-2=0的两根,则等于 .,解析 由题意知sin cos =- , 联立 解得 或 又为三角形的一个内角, sin 0,cos =- ,= .,深化练 设为第二象限角,若tan = ,则sin +cos = - .,解析 因为为第二象限角,且tan = 0, 所以+ 是第三象限角, 所以sin =- , 所以sin +cos = sin =- .,
