1、 4.5 三角函数的图象和性质,教材研读,三角函数的图象和性质,考点突破,考点一 三角函数的定义域与值域,考点二 三角函数的单调性,考点三 三角函数的周期性,考点四 三角函数的奇偶性,三角函数的图象和性质,教材研读,1.下列函数中,周期为,且在 上为减函数的是 ( A ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos,2.已知 f(x)=tan x+sin x+1,若f(b)=2,则f(-b)= ( A ) A.0 B.3 C.-1 D.-2,3.(2017贵州适应性考试)函数f(x)= cos2 - sin x- (x0,)的单调 递增区间为 ( C ) A. B. C.
2、D.,4.函数y=sin 的图象的对称轴方程是 x=k,kZ .,5.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+ cos x- 的最 大值是 1 .,解析 由题意可得f(x)=-cos2x+ cos x+ =- +1. x ,cos x0,1, 当cos x= 时, f(x)max=1.,三角函数的定义域与值域 典例1 (1)函数y=lg sin x+ 的定义域为 ; (2)设x ,函数y=4sin2x-12sin x-1的值域为 -9,6 .,考点突破,解析 (1)要使函数有意义,则有 即 解得 (kZ), 2kx +2k,kZ, 函数的定义域为 . (2)令t=sin x
3、,由于x ,故t ,所以y=4t2-12t-1=4 -10,t . 因为当t 时,函数单调递减, 所以当t=- ,即x=- 时,ymax=6; 当t=1,即x= 时,ymin=-9. 则函数的值域为-9,6.,方法技巧,1.用三角方法求三角函数最值常见的函数形式 (1)y=asin x+bcos x= sin(x+),其中cos = ,sin = ,再利用有界性处理. (2)y=asin2x+bsin xcos x+cos2x+c y=Asin 2x+Bcos 2x+C=sin(2x+)+C.其中tan = ,再利用有界性处理. (3)y= 或y= 可分别转化为只有分母含有sin x或cos
4、x的 函数式,也可分别转化为sin x=f(y)或cos x=f(y)的形式,由正、余弦函,数的有界性求解.,2.用代数方法求三角函数最值常见的函数形式 (1)y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c(其中a0),可分别令t=sin x或t=cos x,转化为关于t的二次函数在区间-1,1上的最值. (2)y=asin x+ (其中a,b,c为常数,且abc0),令t=sin x,则转化为y=at+ (t-1,0)(0,1)的最值,一般利用函数的单调性或函数图象求解 (3)y=a(sin xcos x)+bsin xcos x,可令t=sin xcos x,则si
5、n xcos x= ,把三角问题化归为代数问题解决.,3.用解析法求三角函数最值常见的函数形式 y= ,其中ab0,先化为y= ,然后转化为求单位圆上的动点与定点连线斜率的最 值问题.,1-1 函数y= 的定义域为 .,解析 sin x-cos x= sin 0,将x- 视为一个整体,由正弦函数y= sin x的图象和性质可知2kx- +2k,kZ. 解得2k+ x2k+ ,kZ. 所以原函数的定义域为 .,1-2 函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 .,解析 设t=sin x-cos x,则- t , t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin
6、xcos x= , y=- +t+ =- (t-1)2+1,t- , . 当t=1时,ymax=1; 当t=- 时,ymin=- - . 函数的值域为 .,典例2 (2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(x R). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,命题方向一 求已知三角函数的单调区间,三角函数的单调性,解析 (1)由sin = ,cos =- , f = - -2 ,得f =2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x- sin 2
7、x=-2sin . 所以f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质得 +2k2x+ +2k,kZ,解得 +kx +k,kZ. 所以f(x)的单调递增区间是 (kZ).,典例3 (2019汤溪中学月考)函数f(x)=sin x(其中0)在区间 上单调递增,则的取值范围是 .,命题方向二 已知三角函数的单调区间求参数,解析 因为0,由2k- x2k+ ,kZ, 得f(x)的增区间是 ,kZ. 因为f(x)在 上单调递增, 所以 ,kZ. 所以- - 且 + ,kZ, 所以 .,典例4 已知函数f(x)=2sin ,设a=f ,b=f ,c=f ,则a,b,c的大 小关系是 ( B ) A.acb
8、B.cab C.bac D.bca,命题方向三 利用三角函数的单调性比较大小,解析 a=f =2sin ,b=f =2sin , c=f =2sin =2sin , 因为y=sin x在 上递增,且 , 所以cab.,典例5 函数f(x)=3sin 在 上的值域为 ( B ) A. B. C. D.,命题方向四 利用三角函数单调性求值域,解析 当x 时,2x- , sin , 故3sin , 函数f(x)在 上的值域是 .,方法指导 确定三角函数单调性的方法 (1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A0,0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法解决.列不等式的原则:把“
9、x+(0)”视为一个整体;A0(A0)时,所列不等式的不等号的方向与y=sin x(xR)或y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式的不等号方向相同 (反). (2)对于y=Atan(x+)(A0,0),其最小正周期T= ,利用x+, (kZ),解出x的取值范围,即为其单调区间. (3)对于复合函数y=f(x),其单调性的判定方法:若y=f(v)和v=(x)同为增(减)函数,则y=f(x)为增函数;若y=f(v)和v=(x)一增一减,则y=f(x)为减函数. (4)判断含有绝对值的三角函数的单调性及周期性,通常要画出图象,结 合图象判断.,2-1 函数f(x)=sin 的单调减区间为 (k
10、Z) .,解析 因为f(x)=sin =-sin ,所以欲求函数f(x)的单调减区 间,只需求y=sin 的单调增区间. 由2k- 2x- 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ. 故所给函数的单调减区间为 (kZ).,2-2 若函数f(x)=sin x(0)在 上单调递增,在 上单调递减, 则= .,解析 函数f(x)=sin x(0)在区间 上单调递增,在区间 上 单调递减,T= ,且 = +2k(kZ),06,且= +6k(kZ), = (经检验满足题意).,2-3 已知函数f(x)=cos 2x-2 sin2 + (0)的最小正周期为 . (1)求函数y=f(x)的单调递增区间; (
11、2)若对任意的x ,|f(x)-m|2,求m的取值范围.,解析 (1)f(x)=cos 2x+ cos =2cos , 所以2= =2,故=1,所以f(x)=2cos , 令2k+2x+ 2k+2,kZ, 解得k+ xk+ ,kZ, 所以函数y=f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (2)因为x ,所以2x+ ,所以cos ,故f(x)-2, . 由|f(x)-m|2,得f(x)-2mf(x)+2, 所以 即m的取值范围是 -2,0.,典例6 (1)(2016浙江理,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正 周期 ( B ) A.与b有关,且与c有关 B.与b有
12、关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 (2)函数f(x)=|sin x+cos x|+|sin x-cos x|的最小正周期为 ( C ) A.2 B. C. D.,三角函数的周期性,解析 (1)f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c= (1-cos 2x)+c,此时f (x)的最小正周期为;若b0,则f(x)的最小正周期为2,所以选B. (2)f = sin +cos + sin -cos =|cos x- sin x|+|cos x+sin x| =|sin x+cos x|+|sin x-cos x|=f(x), 所以
13、是函数f(x)的一个周期, 当x 时, f(x)=sin x+cos x-sin x+cos x=2cos x,易知f(x)在 上单调递减; 当x 时, f(x)=sin x+cos x+sin x-cos x=2sin x, 易知f(x)在 上单调递增. 由此可知函数f(x)在 内不存在小于 的周期,又由 是函数f(x)的一 个周期可知函数f(x)在任何长度为 的区间内均不存在小于 的周期,所 以 是f(x)的最小正周期,故选C.,规律总结 求三角函数的最小正周期时,要先对解析式进行化简,化为y=Asin(x+)或y=Atan(x+)的形式,再利用公式T= 或T= 求解.有时也可根据 函数的
14、图象,通过观察求得最小正周期.,3-1 函数f(x)=cos 的最小正周期是 ( B ) A. B. C.2 D.4,解析 =2,最小正周期T= =,故选B.,3-2 函数f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是 ( B ) A. B. C. D.2,解析 f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)=4sin cos =2sin,最小正周期T= =,故选B.,典例7 已知函数f(x)=sin(2x+)满足f(x)f(a)对于xR恒成立,则 ( D ) A.f(x-a)一定是奇函数 B.f(x-a)一定是偶函数 C.f(x+a)一定
15、是奇函数 D.f(x+a)一定是偶函数,三角函数的奇偶性,解析 由题意可知sin(2a+)=1,2a+=2k+ ,kZ,f(x+a)=sin(2x+2 a+)=sin =cos 2x.故选D.,规律总结 先将函数关系式整理化简,再判断奇偶性.,4-1 下列函数中周期为且为偶函数的是 ( A ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos,解析 根据周期为,排除选项C、D. 对于选项A,y=sin =-cos 2x,是偶函数, 对于选项B,y=cos =sin 2x,是奇函数,故选A.,典例8 (1)已知函数y=sin x+acos x的图象关于直线x= 对称,则函数y= a
16、sin x+cos x的图象关于直线( C ) A.x= 对称 B.x= 对称 C.x= 对称 D.x=对称 (2)(2019绍兴一中月考)下列关于函数f(x)= cos 2x+tan 的图象的 叙述正确的是 ( C ),三角函数的对称性,C.关于点 对称 D.关于直线x= 对称,A.关于原点对称 B.关于y轴对称,解析 (1)函数y=sin x+acos x的最大值、最小值分别为 、- , 函数y=sin x+acos x的图象关于直线x= 对称,从而有sin +acos =,即- + a= ,解得a=- ,则y=asin x+cos x=- sin x+cos x = cos ,其图象的对
17、称轴方程为x=k- (kZ),故选C. (2)f(x)= sin +tan =- sin +tan ,令t=x- ,则 函数化为g(t)=- sin 2t+tan t,是奇函数,其图象关于原点对称,所以原函,数的图象关于点 对称.,方法指导 对于函数f(x)=Asin(x+),如果求f(x)图象的对称轴,只需令x+= +k(kZ)即可.如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ)即可.,同类练 若函数f(x)=Asin(x+) A0,0,- 的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是,则 ( C ) A.f(x)的图象过点 B.f(x)在 上是减函数 C.f(x)图象的一个对
18、称中心是 D.f(x)的最大值是4,解析 因为函数f(x)的最小正周期是,0, 所以= =2, f(x)=Asin(x+)=Asin(2x+). 又因为函数f(x)的图象关于直线x= 对称, 所以2 +=k+ (kZ), 所以=k- (kZ), 因为- ,所以= .,所以f(x)=Asin , 易得f(x)图象的一个对称中心是 .故选C.,变式练 (1)若函数f(x)=2sin (0)与g(x)=cos(2x+) 图 象的对称轴完全相同,则= ( A ) A.- B. C. D.- (2)已知函数f(x)=2sin(x+)(0)的图象关于直线x= 对称,且f =0, 则的最小值是 ( B )
19、A.1 B.2 C.3 D.4,解析 (1)若函数f(x)与函数g(x)图象的对称轴完全相同,且0,则必有 =2,即f(x)=2sin . 令2x+ =k+ (kZ), 则x= + (kZ),所以函数f(x)的图象的对称轴是直线x= + (kZ), 由题意知函数g(x)的图象的对称轴同样为直线x= + (kZ),即2+=k+ +=k,kZ,kZ,则 +=(k-k),易知(k-k)Z,又| ,所以=- . (2)设T为函数f(x)的最小正周期,由题意知 的最大值为 - = ,即T的 最大值为,当T取得最大值时取得最小值,此时=2,故选B.,深化练 设函数f(x)=sin(x+) ,给出以下四个论
20、断: 它的图象关于直线x= 对称; 它的周期为; 它的图象关于点 对称; f(x)在区间 上是增函数. 以其中两个论断作为条件,余下两个论断作为结论,写出你认为正确的 两个命题:,(1) ;(2) .,解析 (1)由题意及得=2,所以f(x)=sin(2x+), 再由得2 +=k+ (kZ),即=k+ (kZ), 因为- ,所以= ,所以f(x)=sin , 当x= 时,2x+ =, f(x)=sin =0, 易得函数f(x)的图象关于点 对称,即成立. 当x 时,2x+ ,易得函数f(x)在 上是增函数,即成立. (2)由得 +=k1+ ,k1Z, 由得 +=k2,k2Z, 已知0,- ,取k1=0,k2=1,可得=2,= , 所以f(x)=sin ,其最小正周期为,故成立. 当x 时,2x+ ,易得函数f(x)在 上是增函数,即成立.,
