1、1第一课时 组合与组合数公式教材研读预习教材 P2124 ，思考以下问题1组合的概念是什么？2什么是组合数？组合数公式是怎样的？3组合数有怎样的性质？要点梳理1组合的定义从 n 个不同元素中取出 m(n m)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2组合数的概念、公式、性质自我诊断判断(正确的打“” ，错误的打“”)1从 a， b， c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是 C .( )2322从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C 个积( )2431,2,3 与 3,2,1 是同一个组合( )4C 54360.( )35答案 1. 2. 3. 4.题 型
2、一 组 合 的 概 念思考：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：设集合 A a， b， c， d， e，则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个？某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种分配方法？(2)从 5 个不同元素 a， b， c， d， e 中任取 2 个，写出所有不同的组合思路导引 对于(1)关键是看有无顺序，有顺
3、序的是排列问题，无顺序的即为组合问题；对于(2)每次取出两个元素即可，无顺序，但注意不重不漏解 (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题因为分工方法是从 5 种不同的工作中取出 3 种，按一定次序分给 3 个人去干，故是排列问题因为 3 本书是相同的，无论把 3 本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题(2)要写出所有的组合，首先要把元素按一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出如图所示：因此可得所有组合为 ab， ac， ad， ae， bc
4、， bd， be， cd， ce， de.3区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题【温馨提示】 排列与组合的联系与区别联系：二者都是从 n 个不同的元素中取 m(n m)个元素区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合跟踪训练判断下列问题是组合问题还是
5、排列问题(1)从 a， b， c， d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从 a， b， c， d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a， b， c， d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(4)a， b， c， d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题(2)两名学生完成两件不
6、同的工作，有顺序，是排列问题(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(4)冠、亚军是有顺序的，是排列问题(5)命中的 4 枪均为 2 枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题(6)命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，即连中 3 枪和单中 1 枪，有顺序，是排列问题题型二 组合数的计算与证明思考：我们知道， “排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么， “组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念， “组合”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组” ，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从 n个
7、不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数” ，它是一个数4(1)计算：C C A ；410 373C 2C C ；978 968 958C C C C C C .5 56 57 58 59 510(2)证明： mC nC .mn m 1n思路导引 利用组合数公式及性质求解解 (1)C C A C A 7652102100.410 373 410 37109874321原式(C C )(C C )978 968 968 958C C C C 161700.979 969 97100 31001009998321原式(C C )C C C C (C C )6 56 57 58 59
8、510 67 57C C C C C C C 462.58 59 510 610 510 611 511111098754321(2)证明：左边 m nn！m！ n m ！ n n 1 ！ m 1 ！ n m ！ nC 右边， mC nC . n 1 ！ m 1 ！ n m ！ m 1n mn m 1n(1)有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的，C 常用于 n， m 为具体自然mnAmnAm数的题目，一般偏向于具体组合数的计算；公式 C 常用于 n， m 为字母或mnn！m！ n m ！含有字母的式子的题目，一般偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明(2)关于组合数的性质 1(C C
9、 )mn n mn该性质反映了组合数的对称性，即从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的每一个组合，都对应着剩下的 n m 个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系当 m 时，通常不直接计算 C ，而改为计算 C .n2 mn n mn(3)关于组合数的性质 2(C C C )mn 1 mn m 1n形式特点：公式的左端下标为 n1，右端下标为 n，相差 1，上标左端与右端的一个相同，右端的另一个比它们少 1；作用：常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明应用时要注意公式的正用、逆用和变形用正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一” ，使用变形 C5C C ，为某些项前后
10、抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用m 1n mn 1 mn跟踪训练1计算：C C 的值38 n3n 3nn 21解 Error!9.5 n10.5. nN *， n10.C C C C C C 31466.38 n3n 3nn 21 2830 301 230 133029212求使 3C 5A 成立的 x 值x 7 3 2x 4解 根据排列数和组合数公式，原方程可化为3 5 ， x 3 ！ x 7 ！ 4！ x 4 ！ x 6 ！即 ，即为( x3)( x6)40.3 x 34！ 5x 6 x29 x220，解得 x11 或 x2.经检验知 x11 时原式成立3证明下列各等式(1)C C
11、；mnm 1n 1m 1n(2)C C C C C .0n 1n 1 2n 2 m 1n m 1 m 1n m证明 (1)右边 m 1n 1 n 1 ！ m 1 ！ n 1 m 1 ！ m 1n 1 n 1 ！ m 1 ！ n m ！ C 左边，原式成立n！m！ n m ！ mn(2)左边(C C )C C C (C C )0n 1 1n 1 2n 2 3n 3 m 1n m 1 1n 2 2n 2C C (C C )C (C C )C3n 3 m 1n m 1 2n 3 3n 3 m 1n m 1 3n 4 4n 4C C C 右边，原式成立m 1n m 1 m 2n m 1 m 1n m
12、1 m 1n m题 型 三 简 单 的 组 合 应 用 题现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名(1)从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？思路导引 利用组合数 C 求解时，确定好 m、 n 的值，结合两个计数原理解题mn解 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出62 个元素的组合数，即有 C 45 种不同的选法21010921(2)可把问题分两类：第 1 类，选出 2 名男教师，有
13、 C 种方法；第 2 类，选出 2 名女26教师，有 C 种方法，即共有 C C 21 种不同的选法24 26 24(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C 种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C 种，根26 24据分步乘法计数原理，共有 C C 90 种不同的选法26 246521 4321解答简单的组合问题的思路(1)弄清楚做的这件事是什么；(2)分析这件事是否需分类或分步完成；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果跟踪训练一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球(1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有
14、多少种取法？(3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解 (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球，取法种数是 C 56.38876321(2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是 C 21.277621(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是C 35.377653211.本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)组合概念的理解，见典例 1；(2)组合数的计算与证明，见典例 2；7(3)会解决简单的组合应用题，见典例 3.3.本节课的易错点是利用组合数性质 C C 解题时，易误认为一定有 x y，从而导致解xn yn题错误事实上，C C Error!xn yn
