1、1高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形1.(2018 北京,理 15)在 ABC 中, a=7,b=8,cos B=-17.(1)求 A;(2)求 AC 边上的高 .2. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2.3 7(1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD AC,求 ABD 的面积 .3.(2018 河南郑州三模,17)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 acos C=(2b- c)cos 3 3A.(1)求角 A 的大小;(2)若 a=2,求 ABC 面积的最大值 .4.(2
2、018 河南六市联考二,17)已知 f(x)=12sin x+ cos x-3,x 6 0, 4.(1)求 f(x)的最大值、最小值;(2)CD 为 ABC 的内角平分线,已知 AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2 ,求 C.225.(2018 山东潍坊三模,17)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x+2 sin xcos x(xR) .3(1)求 f(x)的最小正周期;(2)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f(A)=2,c=5,cos B= ,求 ABC 中线 AD 的长 .176.已知在 ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分
3、BAC, ABD 的面积是 ADC 面积的 2 倍 .(1)求 ;sinBsinC(2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长 .227.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4cos2 -4sin Bsin C=3.B-C2(1)求 A;(2)若( bc-4 )cos A+accos B=a2-b2,求 ABC 的面积 .338.在 ABC 中, a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边 .若 acos B=3,bcos A=1,且 A-B= , 6(1)求边 c 的长;(2)求角 B 的大小 .参考答案高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形1.解
4、(1)在 ABC 中, cos B=- ,B , sin B= = .17 ( 2, ) 1-cos2B437由正弦定理,得 = = , sin A= .asinA bsinB 7sinA8437 32B ,A ,( 2, ) (0, 2)A= . 3(2)在 ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A= + = .32 (-17)12 437 3314如图所示,在 ABC 中,过点 B 作 BD AC 于点 D. sin C= ,h=BC sin C=7 = ,hBC 3314332AC 边上的高为 .33242.解 (1)由已知可得 tan A=-
5、 ,3所以 A= .23在 ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos ,即 c2+2c-24=0,解得 c=-6(舍去), c=4.23(2)由题设可得 CAD= , 2所以 BAD= BAC- CAD= . 6故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 =1.又 ABC 的面积为 42sin BAC=2 ,12ABADsin 612ACAD 12 3所以 ABD 的面积为 .33.解 (1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,3 3从而可得 sin(A+C)=2sin Bcos A,3即 sin B=2sin Bcos A,3所以
6、 cos A= ,又 A 为三角形的一个内角,所以 A= .32 6(2)由余弦定理得 4=b2+c2-2bc 2 bc- bc,32 3所以 bc4(2 + ),当且仅当 b=c 时取等号,所以 Smax= bcsin A=2+ .312 34.解 (1) f(x)=12sin x cos x+12cos x cos x-3=3 sin 2x+3(1+cos 2x)-3=6sin32 12 3.(2x+ 6)f (x)在 上递增,在 上递减,0, 6) ( 6, 4f (x)max=6,f(x)min=3.(2)在 ADC 中, = ,ADsinC2 ACsinADC在 BDC 中, = ,
7、BDsinC2 BCsinBDC sin ADC=sin BDC,AC=6,BC=3,AD= 2BD.在 BCD 中, BD2=17-12 cos ,2C2在 ACD 中, AD2=44-24 cos =68-48 cos , cos = ,即 C= .2C2 2 C2 C2 22 25.解 (1) f (x)=-cos 2x+ sin 2x3=2sin ,(2x- 6)5T= = . 函数 f(x)的最小正周期为 .22(2)由(1)知 f(x)=2sin ,(2x- 6) 在 ABC 中, f(A)=2, sin =1.(2A- 6) 2A- = ,A= . 6 2 3又 cos B= ,
8、 sin B= ,17 437 sin C=sin(A+B)= + = ,32 1712 437 5314在 ABC 中,由正弦定理 = ,得 = ,csinC asinA 55314a32a= 7,BD= ,72在 ABD 中,由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B=52+ -25 = ,(72)2 72 171294AD= .12926.解 (1) S ABD= ABADsin BAD,S ADC= ACADsin CAD.12 12因为 S ABD=2S ADC, BAD= CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得 = = .sinBsinCACAB12(2)因为
9、S ABDS ADC=BDDC ,所以 BD= .在 ABD 和 ADC 中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-22ADBDcos ADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ADC. 因为 cos ADB=-cos ADC,所以 + 2 得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.7.解 (1)4 -4sin Bsin C=2+2cos Bcos C-2sin Bcos C1+cos(B-C)2=2+2cos(B+C)=2-2cos A=3,cos A=- ,126 0A, A= .23(2) (bc-4 ) +ac =a2-b
10、2,3b2+c2-a22bc a2+c2-b22ac -4 + =a2-b2,b2+c2-a22 3 b2+c2-a22bc a2+c2-b22b 2+c2-a2-4 =0,3b2+c2-a22bcA= ,b 2+c2-a20,23 1- =0,bc=2 ,S ABC= bcsin A= 2 = .432bc 3 12 12 3 32 328.解 (1) acos B=3,a =3,化为 a2+c2-b2=6c,a2+c2-b22acbcos A=1,b =1,化为 b2+c2-a2=2c.b2+c2-a22bc解由 组成的方程组得 2c2=8c,即 c=4.(2)将(1)得到的 c=4 代入
11、 可得 a2-b2=8.又 A-B= ,A=B+ ,C= -(A+B)= - , 6 6 (2B+ 6)可得 sin C=sin .(2B+ 6)由正弦定理可得 = = ,asinA bsinB 4sinCa= ,4sin(B+ 6)sin(2B+ 6)b= .4sinBsin(2B+ 6)a 2-b2=816sin2 -16sin2B=8sin2 ,(B+ 6) (2B+ 6) 1-cos -(1-cos 2B)=sin2 ,即 cos 2B-cos 2B+ =sin2 ,(2B+ 3) (2B+ 6) 3 (2B+ 6) sin =sin2 ,(2B+ 6) (2B+ 6) sin =0 或 sin 2B+ =1,B ,解得 B= .(2B+ 6) 6 (0,512) 67
