1、- 1 -四川省宜宾第三中学 2019 届高三数学 11 月月考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个正确答案）1.已知集合 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,选 B.2.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，所以 的虚部是 ，选 D.3.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得 ，进而利用同角三角基本关系，使其除以 ，转化成正切，然后把 的值代入即可详解：由题意得 .故选 A.点睛：本题主要考
2、查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化- 2 -4.已知命题 “ ”是“ ”的充要条件； ，则（ ）A. 为真命题 B. 为假命题 C. 为真命题 D. 为真命题【答案】D【解析】函数 是增函数，所以 ，所以是充要条件，所以命题 使正确的，为真命题，由图像可知 和 关于直线 对称，没有交点，所以不存在 ，使 ，所以命题 使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知 是真命题，故选 D.5.实数 ， 满足 ，且 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】所以过点 时， 的最大值为 5。故选 C。6.已知等差
3、数列 的公差为 ，前 项和为 ， 且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用向量的线性运算把 用 表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系详解： ， ，即 ，又 ，- 3 - ， ， 故选 B点睛：等差数列问题可用基本量法求解，即把已知条件用首项 和公差 表示并求出 即可得通项公式和前 项和公式基本量法的两个公式： ， 7.非零向量 满足 且 , 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，求得 ，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值【详解】由 得， 又由 得， 将代入式，整理得： ，即又因为 ，即故选 .【点睛】本题
4、考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题8.设 ，若 是 的等比中项，则 的最小值为（ ）A. 8 B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】- 4 - 是 的等比中项，3=3 a3b=3a+b，a+b=1a0，b0 = =2 当且仅当 a=b= 时取等号故选 D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.
5、【答案】B【解析】作出立体图形为： 故该几何体的体积为：- 5 -10.若函数 在 上是减函数，则 a 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令 t ，则由题意可得函数 t 在区间-2，+）上为增函数且 t（-2）0，由此解得实数 a 的取值范围【详解】令 t ，则函数 g（ t） t 在区间（ 0，+）上为减函数，可得函数 t 在区间2，+）上为增函数且 t（-2）0，故有 ，解得4 a5，故选： B【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，本题属于基础题.11.已知函数 ， （ 为自然对数的底数） ，且 ,则实数
6、 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，则函数 为偶函数且在 上单调递增， ， ，即 ，两边平方得，解得 或 ，故选 C.12.函数 ，则方程 恰有两个不同的实根时，实数 范围是( )A. B. C. D. 【答案】C- 6 -【解析】【分析】由方程 f（x）=kx 恰有两个不同实数根，等价于 y=f（x）与 y=kx 有 2 个交点，又 k 表示直线 y=kx 的斜率，数形结合求出 k 的取值范围【详解】方程 f（x）=kx 恰有两个不同实数根，y=f（x）与 y=kx 有 2 个交点，又k 表示直线 y=kx 的斜率，x1 时，y=f（x）=lnx，y= ；设切点为
7、（x 0，y 0） ，则 k= ，切线方程为 yy 0= （xx 0） ，又切线过原点，y 0=1，x 0=e，k= ，如图所示；结合图象，可得实数 k 的取值范围是 .故选：C【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，属于中档题二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13.某班学生 ， 在高三 8 次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生 的平均成绩与学生 的成绩的众数相等，则 _- 7 -【答案】5【解析】由题意，得 ，解得 .14.将函数 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移 个单位
8、长度得到 的图象，则 _.【答案】【解析】【分析】由条件根据函数 的图象变换规律， ，可得 的解析式，从而求得 的值【详解】将函数 向左平移 个单位长度可得 的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍可得 的图象，故 ，所以.【点睛】本题主要考查函数 ）的图象变换规律，属于中档题15.已知 三点在半径为 5 的球 的表面上， 是边长为 的正三角形，则球心 到平面 的距离为_【答案】3【解析】设平面 截球所得球的小圆半径为 ，则 ，故 ，则球心 到平面 的距离为 ，故答案为 3.16.已知数列 ，令 ，则称 为 的“伴随数列” ，若- 8 -数列 的“伴随数列” 的通项公式为 ，记数列 的前
9、 项和为 ，若 对任意的正整数 恒成立，则实数 取值范围为_【答案】【解析】由题意得 ,所以 , 相减得- ，所以 , 也满足. 因此数列 的前 项和为 ,点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题（本大题共 5 题，每小题 12 分，共 60 分）17.（本题满分 12 分）在ABC 中，已知 A= ， （I）求 cosC 的值； （）若 BC=2 ，D 为 AB 的中点，求 CD 的长【答案】
10、 （1） （2）【解析】试题分析：（）在三角形中， ，再求出 ，代入即得；（）由（）可得 ，再由正弦定理得 ，解得 在 中，用余弦定理可求得 .试题解析：（） 且 ， 2 分- 9 -4 分6 分（）由（）可得 8 分由正弦定理得 ，即 ，解得 10 分在 中， ，所以 12 分考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.18.某贫困地区有 1500 户居民，其中平原地区 1050 户，山区 450 户.为调查该地区 2017 年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫” ，采用分层抽样的方法，收集了 150 户家庭2017 年年收入的样本数据（单位：万元）.（）应收集多少户山区家庭的样本数据？（）根
11、据这 150 个样本数据，得到 2017 年家庭收入的频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组区间为 ， ， ， ， ， ， .如果将频率视为概率，估计该地区 2017 年家庭收入超过 1.5 万元的概率；（）样本数据中，由 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，请完成 2017 年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有 的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关”？附：【答案】 （）45；（） ；（）有 的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关”.【解析】- 10 -分析：（）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等求得答案；（）根据频率分布直方图可得该地区 2017
12、年家庭收入超过 1.5 万元的概率；（）由题意列出 22 列联表，计算出 的值，结合附表得答案详解：（）由已知可得每户居民被抽取的概率为 0.1，故应手机 户山区家庭的样本数据（）由直方图可知该地区 2017 年家庭年收入超过 1.5 万元的概率约为（）样本数据中，年收入超过 2 万元的户数为 户而样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，故列联表如下：所以 ，有 的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关” 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题.解决独立性检验的三个步骤：根据样本数据制成 22 列联表；根据公式 ，计算 的值；查值比较 的值与临界值的大小关系
13、，作出判断.19.已知数列 满足 .（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】- 11 -分析：（1） 两边取倒数可得 ，从而得到数列 是等差数列，进而可得 的通项公式；（2） ，利用错位相减法求和即可.详解：（1） ， ， 是等差数列， ，即 ；（2） ， ，则 ，两式相减得 ， .点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式；(3)在应用错位
14、相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.20.如图,三棱柱 中,侧面 为菱形, .- 12 -(1)证明: ;(2)若 ,且平面 平面 ,求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析(2) .【解析】试题分析：(1) 连结 交 于 ,连结 ,由题意易得 ,则有 平面,可得 ;(2)由 ,则易得结果.试题解析：(1)连结 交 于 ,连结 ,在菱形 中, , 为 中点, ,又 , 平面 , .(2) 侧面 为菱形, ,- 13 - 为等边三角形,即 .又平面 平面 ,平面 平面 ,又 平面 , 平面 ,在 ,在 , 为等腰三角形, , ,设 到平面 的距离
15、为 ,则 , .21.设函数 ，其中 （）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；（）当 时，求函数 的极值点（）证明：对任意的正整数 ，不等式 都成立【答案】 （1） 在定义域 上单调递增；（II） 时， 在 上有唯一的极小值点 ；时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；时，函数 在 上无极值点。（III）证明见详解.【解析】试题分析：（1）根据导数研究函数单调性，先明确定义域（-1，+） ，再求导函数，确定- 14 -导函数在定义域上符号变化情况，从而可得函数单调性（2）当 时，由导函数 =0 解得两个不同解 ，下面根据两个根与-1 的大小关系进行讨论：当b0 时，只有大根在定义域内，从而
16、有唯一的极小值点；当 时，两根都在定义域内，因此列表分析可得 有一个极大值点和一个极小值点（3）利用函数证明不等式，关键在于构造对应函数： ，再利用导数研究单调性，从而给予证明试题解析：（1）当 ，所以函数 定义域（-1，+）上单调递增（2） 当 时，令 =0 解得两个不同解当 b0 时，此时 在（-1，x 2）减，在（x 2，+）增， 上有唯一的极小值点当 时， 在 都大于 0， 在 上小于 0，此时 有一个极大值点 和一个极小值点 综上可知，时， 有一个极大值点 和一个极小值点（2）b0，时， 在（-1，+）上有唯一的极小值点（3）当 b=-1 时，令 上恒正 在 上单调递增，当 x（0，
17、+）时，恒有即当 x（0，+）时，有 ，对任意正整数 n，取考点：利用导数研究函数单调性、极值，利用导数证明不等式【名师点睛】利用导数方法证明不等式 f（x）g（x）在区间 D 上恒成立的基本方法是构造- 15 -函数 h（x）f（x）g（x） ，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 h（x）0，其中一个重要技巧就是找到函数 h（x）在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助
18、图像观察得到函数的最值四、选做题（请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上）22.已知曲线 的参数方程为 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）分别写出曲线 与曲线 的普通方程；（2）若曲线 与曲线 交于 两点，求线段 的长.【答案】(1) ， (2) 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系消去参数 ，得曲线 ，利用，得曲线 ；（2）把曲线 和曲线 联立消去 得 ，结合弦长公式即可求得弦 的长试题解析：（1）曲线 ，曲线 （2
19、）联立 ，得 ，设 ，则 ， ，- 16 -于是 故线段 的长为 考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆锥曲线的位置关系23.设函数 . （1）求 f(x)的最小值及取得最小值时 的取值范围；（2）若集合 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1）3（2）【解析】分析：（1）利用绝对值三角不等式,求得 的最小值,以及取得最小值时 x 的取值范围;（2）当不等式 的解集为 ，函数 恒成立，即 的图象恒位于直线的上方,数形结合求得 的取值范围.详解：（1）函数 ，故函数 的最小值为 3，此时 ；（2）当不等式 的解集为 ，函数 恒成立，即 的图象恒位于直线 的上方，函数 ，而函数 表示过点 ，斜率为 的一条直线，如图所示：当直线 过点 时， ， ，当直线 过点 时， ， ，数形结合可得 的取值范围为 .点睛:恒成立问题的解决方法:(1)f(x)m 恒成立，须- 17 -有f(x) minm；(3)不等式的解集为 R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解
