1、- 1 -阜阳三中 20182019学年第一学期高一年级小期末考试数学（理+文 A）试卷（满分 150分，时间 120分钟）一、单选题（共 12题，每题 5分）1.若集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合，再根据集合交集的定义求解.【详解】因为 ，所以 故选 C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，AB 可理解为：集合 A和集合 B中的所有相同的元素的集合. 一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.2.已知映射 f：PQ 是从 P到 Q的一个函数，则 P，Q 的元素（ ）A. 可以是点 B. 必须是实数 C. 可以是方程 D. 可
2、以是三角形【答案】B【解析】【分析】根据函数与映射的概念判断.【详解】函数是一种特殊的映射，其特殊性体现为，对于映射 f：AB，若该映射能构成函数，则集合 A，B 必须是非空的数集，即 A，B 的元素必须是实数，本题中，映射 f：PQ 是从 P到 Q的一个函数，则集合 P，Q 的元素必须是实数，故选：B【点睛】本题主要考查了函数与映射的概念，函数是建立在两个非空数集之间的映射，映射是两个集合中的一种的对应关系.3.下列结论，正确的个数为（ ）（1）若 都是单位向量，则（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（3）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量- 2 -（4）直角坐标平面上
3、的 轴、 轴都是向量A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】若 ， 都是单位向量，则 ，故不正确；物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故正确；方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量在一条直线上，是共线向量，故正确；直角坐标平面上的 轴、 轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故错误；故选4.已知 ，则 sin cos 的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以 ，所以 。故选 C。5.已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则当时， （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数在定义域 上的递
4、推性质，由函数在定义域 的函数解析式推导出函数在定义域 上的解析式.- 3 -【详解】根据 得, .当 时, , ,所以 .故选 D【点睛】本题考查函数在特定定义域上解析式求解，主要考查了推理能力和运算能力；求函数的解析式常见题型还有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.6.函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 =0得两个正根和一个负根，所以舍去 B
5、,C；因为 ，所以舍 D,选 A7.已知函数 满足对任意 ，都有 成立， 则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，可以先判断出函数 f（x）在 R上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每- 4 -一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到 a的取值范围【详解】：对任意 ，都有 成立，x 1-x2与 f（x 1）-f（x 2）异号，根据函数单调性的定义，可知 f（x）在 R上是单调递减函数，函数 ， ，解得 故选 B.【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明
6、，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解属于中档题8.设 均大于 1，且 ，令 ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解法一:首先利用对数运算性质对已知条件进行化解,令 ，用 k将x、y、z 表示出来，然后将 a、b、c 都 24次方后进行比较;解法二:按题设要求取特殊值代入进行大小比较.【详解】解法一、化解得：则 于是 ，故选 D.解法二、- 5 -取特殊值法：取 符合题意，易验证 ，故选 D.【点睛】本题考查了对数运算性质、指数幂运算性质，属于基础题；解题中主要是根据式子结构特征对其进
7、行合理转化，利用幂函数的单调性进行大小比较，对运算能力要求较高，计算中要认真仔细.9.已知 是定义在 上的奇函数，且对任意的 ，都有 ,当 时，则 （ ）A. -2 B. -1 C. 0 D. 1【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可【详解】设 f（x）是定义在 R上的奇函数， ，且对任意实数 x都有 f（x+3）=-f（-x）=f（x） ，函数 f（x）是周期为 3的周期函数，当 时， ， ，f（2019）=f（6733+0）=f（0）=0f（2020）=f（6733+1）=f（1）=0，.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判
8、断函数的周期性是解决本题的关键10.若将函数 的图象向右平移 个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数 的图象重合，比较系数，求- 6 -出 ，然后求出 的最小值【详解】 向右平移 个单位可得： ，又0 min= 故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是基础题11.若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令 3x=t0 由条件可得 利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围【详解】 ，
9、令 3x=t（t0） ，则因为 ，所以 a+4-4，所以 a的范围为（-，-8故选：D【点睛】本题考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域、方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法12.函数 在 上的所有零点之和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D- 7 -【解析】【分析】由 ，分别作出函数 与 的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数 f（x）的所有零点之和【详解】由 ，分别作出函数 与 的图象如图，两函数图像均关于 .由图可知，函数函数 在 上的所有零点之和上的所有零点之和等于 故选：C【点睛】本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结
10、合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键，是中档题二、填空题（共 4题，每题 5分）13.（1）函数 的图象必过定点，定点坐标为_（2）已知函数 y f(x21)的定义域为 ， ，则函数 y f(x)的定义域为_【答案】 (1). （-1,-1） (2). -1,2【解析】【分析】（1）由题意，令 x+1=0，即 x=-1时，y=1-2=-1；从而求得；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可【详解】 （1）由题意，令 x+1=0，即 x=-1时，y=1-2=-1；故函数 的图象必过定点（-1,-1） ，- 8 -故答案为：（-1,-1） （2）函数 y=f（x 21）的定义域为 ，
11、 ， x ，即 0x 23，1x 212，即函数 y=f（x）的定义域为1，2，故答案为：1，2【点睛】本题考查了指数函数的定点问题，考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系14.已知 的终边过点 ，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值【详解】 的终边过点 ，若 ， 即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.15.如图，扇形 的圆心角为 ，半径长为 6，弓形 的面积为_【答案】【解析】【分析】由已知利用弧长公式可求弧长，进而可求 S 扇形 OAB，解三角形可求 SOAB ，作差即可得解弓形AC
12、B的面积【详解】因为： - 9 -所以： 所以： 的长为 4因为： 如图所示，有 （D 为 AB中点） 所以：S 弓形 ACB=S 扇形 OAB-SOAB = 所以：弓形 ACB的面积为 【点睛】本题主要考查了弧长公式，扇形面积公式，三角形面积公式的综合应用，考查了数形结合扇形，属于基础题16.若 对 恒成立，且任意 ，都有 成立，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用构造思想求解 f（x）的解析式，由任意 ，使得 f（x）m 成立，即 ；即可得 m的取值范围【详解】由 那么 由解得 f（x）=x+log 2x任意 ，使得 f（x）m 成立，即 成立；f（x）=x+log 2x在 是递增
13、函数， ；即 ；可得 m的取值范围 - 10 -故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，利用单调性求区间内的最值三、解答题(共 6题，70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（1）设全集 ，都是 的子集， ，写出所有符合题意的集合 .（2）计算： .【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）先求得 的值，然后结果 ，可由此列举出集合 的所有情况.（2）直接利用对数运算公式化简表达式，求出运算的结果.【详解】解：（ ）集合 B为 （ ）【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念，考查子集的概念和运用，考查对数的运算，属于基础题.18
14、.设函数 求函数 的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心求不等式 的解集【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题解析：第一问利用正切函数的性质，求函数 的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；第二问由题意， ，可得不等式 的解集.由 ，得到函数的定义域 ；- 11 -周期 ；增区间 ，无减区间；对称中心由题意， ，可得不等式 的解集 19.已知 ， ， 是不共线的三点，且 .（1）若 ，求证： ， ， 三点共线； （2）若 ， ， 三点共线，求证： .【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】分析：（1）根据向量的和与差计算公式得到 ，即 ，进而得到结果；（2）若 ， ， 三点共线，
15、存在实数 ，使 ，将向量分解得到，根据向量相等得到 ，再由平面向量基本定理得到系数为 0，即可.详解：（1）若 ，则， ，即 ， 与 共线.又 与 有公共点 ， ， ， 三点共线.（2）若 ， ， 三点共线，存在实数 ，使 ， ，又 .故有 ，- 12 -即 . ， ， 不共线， ， 不共线， ， .点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量相等的概念。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。20.据气象中心观察和预测：发生于菲律宾的东海面 M地的台风,现在已知台风向正南方移动其移动速
16、度 与时间 的函数图象如图所示，过线段 上一点 作横轴的垂线 ，梯形 在直线 左侧部分的面积即为 内台风所经过的路程 （1）当 时，求 的值，并将 随 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若 N城位于 M地正南方向，且距 N地 ，试判断这场台风是否会侵袭到 N城，如果会，在台风发生后多少时间它将侵袭到 N城？如果不会，请说明理由【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由图象可知：直线 的方程是： ，直线 的方程是： ，从而得到当时，求 的值，分类讨论：当 0t10 时，当 10t20 时，当 20t35 时即可得到数学关系式；（2）根据 t的值对应求 S，然后解答【详解】 （1）
17、由图象可知：直线 的方程是： ，直线 的方程是： 当 时， ，所以 . 当 时， ； - 13 -当 时， 当 时，综上可知 随 变化的规律是（2） ， , 当 时，令 ，解得 ， （ 舍去）即在台风发生后 30小时后将侵袭到 城.【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.21.已知函数 .（1）若点 是函数 图像的一个对称中心，且 ，求函数 在 上
18、的值域；（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由 ，可得 ， ，结合 ，得 ，所以，由 ，利用正弦定理的单调性可得函数 在 上的值域；（2）令 ，解得 ，- 14 -由函数 在 上单调递增，可得 ，列不等式求解即可.【详解】 （1）由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ，故函数 在 上的值域为 .（2）令 ，解得 ，函数 在 上单调递增， ， ， ，即 ，又 ， ， ， ， ，即 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象对称性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若 ,把 看作是一
19、个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用 的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.22.若函数 满足对其定义域内任意 成立，则称 为 “类对数型”函数.（1）求证： 为 “类对数型”函数；（2）若 为 “类对数型”函数，（i）求 的值；（ii）求 的值.【答案】 （1）详见解析；（2） （i） ；（ii） .- 15 -【解析】【分析】（1）任取 代入 的表达式，利用对数运算公式来化简，由此证明 为类对数型函数.（2） （i）令 ，代入 ，可求得 的值.（2）令 ，即互为倒数，代入 ，可求得互为倒数的自变量，会使 ，由此求得表达式的值.【详解】解：(1)证明：成立，所以 为 “类对数型”函数； （2） （i）令 ，有（ii）令 ，则有.【点睛】本小题主要考查对新定义函数的理解，考查倒序相加求和法.对于一个新定义的问题，首先要把握的就是新定义本身所包含的数学知识，也就是说，将一个新定义的问题，转化为我们所学过的知识来解决.对于有规律的一列数求和，要想办法找到这个规律，以此为突破口解题.- 16 -
