1、- 1 -广东省湛江市 2017-2018 学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解答： U=x N|x6=0,1,2,3,4,5，P=2,4,Q=1,3,4,6， CUP=0,1,3,5，( UP) Q=1,3.故选：C.2.棱柱的侧面一定是（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形【答案】A【解析】根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选 A.3.直线 x-y+1=0 的倾斜角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线方程可求斜率
2、，从而可得倾斜角【详解】设直线 x-y+1=0 的倾斜角为 ，则 tan= ，0，180） =60，故选：B【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题- 2 -4.函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 为单调递增函数，且 ，所以由零点存在定理得零点所在的区间为点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两
3、个函数图象在给定区间上是否有交点来判断5.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由指数函数的性质可得： ，即： .本题选择 D 选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介）
4、 ，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小6.已知直线 l 的方程为 x-y+1=0，直线 l1的方程为 ax-2y+1=0，直线 l2的方程为 x+by+3=0，若 l1l，l 2l，则 a+b=（ ）A. B. C. 0 D. 1- 3 -【答案】B【解析】【分析】根据题意，由直线垂直的判定方法可得 a+2=0，解可得 a=-2，又由直线平行的判定方法可得b 的值，将 a、b 相加即可得答案【详解】根据题意，若 l1l，则有 a+2=0，解可得 a=-2， 又由 l2l，则 b=1（-1）=-1； 则 a+b=（-2）+（-1）=-3； 故选：B【点睛】本题考查直线平行、
5、直线垂直的判定方法，关键是求出 a、b 的值，属于基础题7.一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的高为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径是 ，母线长 ，所以 ，即 ，根据圆心角公式 ，即 ，所以解得 ， ，那么高考点：圆锥的面积8.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C【解析】试题分析：若 ， ， ，则直线 与 可能平行或异面，A 错误；若 ， ，且，则直线 与 可能平行或相交或异面，B 错误；若 ， ， ，则 ，由于垂直于
6、同一平面的两条直线互相平行，C 正确；选 C.考点：空间直线与平面的位置关系；9.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于( )- 4 -A. 8 B. 4 C. 2 D. 4【答案】C【解析】由题设可得圆的圆心坐标为 ，半径为 ，因圆心 到直线 x-y+4=0 的距离，故直线过圆心 ，则弦长是直径 ，应选答案 C。10.已知函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时， ，则 ；当 时，则 ，综上，实数 的取值范围是 .考点：分段函数.11.已知点 、 若直线 过点 ，且与线段 AB 相交，则直线 的斜率的取值 范围
7、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如图所示：由题意得，- 5 -所求直线 l 的斜率 k 满足 kk PB或 kk PA，即 ，或 ， ，或 k-4，考点：恒过定点的直线12.已知偶函数 f（x）在区间0，+）上单调递增，则满足 f（2x-1）f（3）的 x 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据 f（x）是偶函数，故 f（x）=f（|x|） ，从而将 f（2x-1）f（3）转化成 f（|2x-1|）f（|3|） ，然后根据函数的单调性建立关系式，解之即可【详解】f（x）是偶函数，故 f（x）=f（|x|） f（2x-1）=f（|2x
8、-1|） ，即 f（|2x-1|）f（|3|） 又f（x）在区间0，+）单调递增 得|2x-1|3 解得-1x2 故选：A【点睛】本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识，并考查了如何解不等式，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.函数 的定义域为_【答案】【解析】函数 ，解得 ， 函数 的定义域是，故答案为 .14.已知点 A（4，5） ，B（6，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程为 - 6 -【答案】 （x1） 2+（y+3） 2=29【解析】试题分析：由中点坐标公式得线段 的中点坐标为 ，即圆心的坐标为 ；，故所求圆的方程为： 故答案为： 考点：圆的标
9、准方程.【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程，注重对基础的考查，难度不大；由点 和点的坐标，利用中点坐标公式求出线段 的中点 的坐标，因为线段 为所求圆的直径，所以求出的中点 的坐标即为圆心坐标，然后由圆心 的坐标和点 的坐标，利用两点间的距离公式求出 的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可15.直线（m+1）x+（m-1）y-2=0 与圆（x-1） 2+y2=1 的位置关系是_【答案】相交或相切【解析】【分析】先求出直线经过的定点（1，-1） ，再说明定点在圆上，故而可说明直线与圆相交或相切【详解】直线（m+1）x+（m-1）y-2=0 可化为：（x+y）m+x-y-2=0由
10、 ，得 x=1，y=-1，即直线过定点（1，-1） ，而（1，-1）在圆（x-1） 2+y2=1 上，故直线与圆相交或相切，故答案为：相交或相切【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题16.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_- 7 -【答案】【解析】由主视图知 CD平面 ABC，设 AC 中点为 E，则 BE AC，且 AE=CE=1；由主视图知 CD=2，由左视图知 BE=1，在 中, BC= ，在 中, BD= ，在 中, AD=则三棱锥中最长棱的长为故答案为：【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知ABC 的顶点 A
11、 的坐标为（5，1） ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0，AC边上的高 BH 所在的直线方程为 x-2y-5=0（）求顶点 C 的坐标；（）求直线 AB 的方程【答案】 （） （4，3） ； （）2x-3y-7=0.【解析】- 8 -【分析】（）通过 AC 边上的高线方程得 AC 的斜率，由点斜式得 AC 的方程，AC 的方程与 CM 的方程联立得点 C 的坐标； （）设出点 B 的坐标，根据中点关系，得 M 的坐标代入 CM 的方程，B 点坐标代入 BH 方程，两个方程联立可解得 B 的坐标，再由两点式得 AB 的方程【详解】 （）AC 边上的高 BH 所在直线方程为
12、 x-2y-5=0，直线 AC 的斜率 k=-2，直线 AC 的方程为 y-1=-2（x-5） ，即：2x+y-11=0，直线 AC 与 CM 相交于点 C，由 解得： 点 C 的坐标为（4，3） ；（）设 B（x 1，y 1） ，M 是 AB 中点，且 A（5，1） ，点 M 的坐标为代入 CM 所在直线方程 2x-y-5=0 并化简得：2x 1-y1-1=0，又点 B（x 1，y 1）在直线 BH 上，x 1-2y1-5=0由 解得： 点 B 的坐标为（-1，-3）直线 AB 的方程为 ，即：2x-3y-7=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线的性质，属中档题18.如图，在直三棱柱
13、ABCA 1B1C1中，ACBC，点 D 是 AB 的中点求证：（1）ACBC 1；- 9 -（2）AC 1平面 B1CD【答案】 （1） （2）证明见解析【解析】试题分析：（1）利用线面垂直的判定定理先证明 AC平面 BCC1B1，BC 1平面 BCC1B1，即可证得 ACBC 1；（2）取 BC1与 B1C 的交点为 O，连 DO，则 OD 是三角形 ABC1的中位线，ODAC 1，而 AC1平面 B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证证明：（1）在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，CC 1平面 ABC，CC 1AC，又 ACBC，BCCC 1=C，AC平面 BCC1B1ACBC 1（2
14、）设 BC1与 B1C 的交点为 O，连接 OD，BCC 1B1为平行四边形，则 O 为 B1C 中点，又 D 是 AB的中点，OD 是三角形 ABC1的中位线，ODAC 1，又AC 1平面 B1CD，OD平面 B1CD，AC 1平面 B1CD考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系19.某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1元，租不出去的自行车就增加 3 辆规定：每辆自行车的日租金不超过 20 元，每辆自行车的日租金 x 元只取整数，并要
15、求出租- 10 -所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得） （1）求函数 y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【答案】 （1） ； （2）每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多，为 270 元.【解析】【分析】（1）函数 y=f（x）=出租自行车的总收入-管理费；当 x6 时，全部租出；当 6x20 时，每提高 1 元，租不出去的就增加 3 辆；所以要分段求出解析式； （2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最
16、大值，比较得出函数的最大值【详解】 （1）当 x6 时，y=50x-115，令 50x-1150，解得 x2.3xN，x3，3x6，且 xN当 6x20 时，y=50-3（x-6）x-115=-3x 2+68x-115综上可知（2）当 3x6，且 xN 时，y=50x-115 是增函数，当 x=6 时，y max=185 元当 6x20，xN 时，y=-3x 2+68x-115= ，当 x=11 时，y max=270 元综上所述，当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多，为 270 元【点睛】本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，是基础题20.已知以点 为圆心的
17、圆与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其中 为坐标原点。（1）求证： 的面积为定值；（2）设直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的方程。【答案】 （） （）见解析（）【解析】（1） ， - 11 -设圆 的方程是令 ，得 ；令 ，得 ，即： 的面积为定值（2） 垂直平分线段 ， 直线 的方程是，解得：当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时 到直线 的距离圆 与直线 不相交，不符合题意舍去圆 的方程为21.如图，棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是平行四边形，侧棱 AA1底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=B
18、B 1=2（）求证：AC平面 ABB1A1；（）求点 D 到平面 ABC1的距离 d- 12 -【答案】 （）见解析； （） .【解析】【分析】（I）利用勾股定理逆定理证明 ACAB，结合 ACAA 1可得 AC 平面 ABB1A1（II）根据 列方程解出 d【详解】 （）证明：在底面 ABCD 中，AB=1， ，BC=2，BC 2=AC2+AB2，即 ABAC，侧棱 AA1底面 ABCD，AC平面 ABCD，AA 1AC，又AA 1AB=A，AA 1平面 ABB1A1，AB 平面 ABB1A1，AC平面 ABB1A1（）连接 DB，DC 1，由（）知ABC 为直角三角形，且 ，S ABD =
19、 =SABC = ，又侧棱 CC1底面 ABCD， ，ABAC，ABCC 1，ACCC 1=C，AB平面 ACC1，且 AC1平面 ACC1，ABAC 1，又 ， ， = ，解得 - 13 -【点睛】本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题22.已知函数 .（1）若 ，求 的值域；（2）若存在实数 ，当 ， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】答案见解析【解析】试题分析：(1)结合二次函数的性质分类讨论可得：当 时， 的值域为 .当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 .(2)原问题即 恒成立.构造二次函数 ，则 ，再次构造函数 ，结合二次函数的性质可得 的取值范围为 .试题解析
20、：（1）由题意得，当 时， ， ，此时 的值域为 .当 时， ， ，此时 的值域为 ；当 时， ， ，此时 的值域为 .（2）由 恒成立得 恒成立.- 14 -令 ， ，因为抛物线的开口向上，所以由 恒成立知 化简得令 ，则原题可转化为：存在 ，使得 .即当 时， . ， 的对称轴为 ，当 ，即 时， ，解得 ；当 ，即 时， .解得 .综上， 的取值范围为 .点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象与横轴的交点、二次不等式 ax2 bx c0( a0)的解集的端点值、二次方程 ax2 bx c0( a0)的根是同一个问题解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决- 15 -
