1、1滚动测试卷四(第一九章)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.集合 M= ,N=x|y=lg(x+2),则 M N 等于 ( )x|(12)x 1A.0,+ ) B.(-2,0C.(-2,+ ) D.(- ,-2)0, + )答案 B解析 因为集合 M= ,x|(12)x 1=x|(12)x (12)0所以 M=x|x0,N=x|y=lg(x+2)=x|x-2,所以 M N=x|x0 x|x-2=x|-20 时, f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图象是 ( )答案 A解析 因为函数 y=f(x)的定义域
2、为 x|x0,满足 f(x)+f(-x)=0,所以函数 f(x)是奇函数,排除 C 项,D 项.当 x=e 时, f(e)=1-e+1=2-e0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线 lx2a2-y2b2上,则双曲线的方程为 ( )A. =1 B. =1x220-y25 x25-y220C. =1 D. =13x225-3y2100 3x2100-3y225答案 A3解析 双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线x2a2-y2b2l 上, 解得-ba= -12,c= -5,a2+b2=c2, a=2 5
3、,b= 5. 双曲线方程为 =1.x220-y257.如图,在 ABC 中,点 D 在 AC 上, AB BD,BC=3 ,BD=5,sin ABC= ,则 CD 的长为( )3235A. B.4 C.2 D.514 5答案 B解析 由题意可得,sin ABC= =sin =cos CBD,235 ( 2+ CBD)再根据余弦定理可得, CD2=BC2+BD2-2BCBDcos CBD=27+25-23 5 =16,可得 CD=4.32358.(2018 全国 ,文 9)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图 .圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在侧(
4、左)视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2 B.2 C.3 D.217 5答案 B解析 如图所示,易知 N 为 的中点,将圆柱的侧面沿母线 MC 剪开,展平为矩形 MCCM,易知CDCN= CC=4,MC=2,从 M 到 N 的路程中最短路径为 MN.144在 Rt MCN 中, MN= =2 .MC2+NC2 59.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点, Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点,则点 P 到点 Q 的距离与点 P到直线 x=-1 的距离之和的最小值是( )A.5 B.8 C. -1 D. -117 15答案
5、C解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 E(0,4),半径为 1.根据抛物线的定义可知,点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,所以当 P,Q,E,F 四点共线时,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和最小,为 |QF|=|EF|-r= -1= -1.42+1 1710.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a2=-11,a5+a9=-2,则当 Sn取最小值时, n 等于( )A.9 B.8 C.7 D.6答案 C解析 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由 a2=-11,a5+a9=-2,得 解得 a n
6、=-15+2n.a1+d= -11,a1+6d= -1, a1= -13,d=2. 由 an=-15+2n0,解得 n .152 当 Sn取最小值时, n=7.11.(2018 全国 ,文 12)已知 f(x)是定义域为( - ,+ )的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( )5A.-50 B.0 C.2 D.50答案 C解析 f (-x)=f(2+x)=-f(x),f (x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f (x)的周期为 4.f (x)为奇函数, f (0)=0.f (2)=f(1+1)=f(1-1
7、)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f (1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f (1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.12.已知 F1,F2是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 的x2a2+y2b2 36直线上, PF1F2为等腰三角形, F1F2P=120,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.23 12 13 14答案 D解析 A (-a,0), PF1F2为等腰三角形,|PF 2|=|F1F2|=2c.过点 P 作 PE x 轴, F1F
8、2P=120, PF2E=60.|F 2E|=c,|PE|= c,P (2c, c).3 3k PA= ,PA 所在直线方程为 y= (x+a).36 36 c= (2c+a).e= .336 ca=14二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.用 x表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg2x-lg x-2=0 的实根个数是 . 6答案 3解析 令 lgx=t,则得 t2-2=t.作 y=t2-2 与 y=t的图象,知 t2-2=t有 3 个解,分别是 t=-1,t=2,还有一解在 10.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4
9、b.由抛物线的方程可得, y= x2,y= x.14 12 过点 A(x1,y1)的抛物线的切线方程为 y-y1= x1(x-x1),12又 y1= ,代入切线方程整理得, y= x1x- .14x21 12 14x21 切线过 P(m,-4),代入整理得, -2mx1-16=0,x21同理可得 -2mx2-16=0.x22x 1,x2为关于 x 的方程 x2-2mx-16=0 的两个根,11x 1+x2=2m,x1x2=-16.由 可得, x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.b= 4,k= ,直线 AB 的方程为 y= x+4.m2 m2 直线 AB 恒过定点(0,4) .20
10、.(12 分)已知各项为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,数列 bn的通项公式 bn=(nN *),若 S3=b5+1,b4是 a2和 a4的等比中项 .n,n为偶数,n+1,n为奇数 (1)求数列 an的通项公式;(2)求数列 anbn的前 n 项和 Tn.解 (1) 数列 bn的通项公式 bn= (nN *),n,n为偶数,n+1,n为奇数 b 5=6,b4=4.设各项为正数的等比数列 an的公比为 q,q0,S 3=b5+1=7,a 1+a1q+a1q2=7. b 4是 a2和 a4的等比中项, =a2a4= =16,解得 a3=a1q2=4, b24 a23由 得 3q2-4
11、q-4=0,解得 q=2 或 q=- (舍去),23a 1=1,a n=2n-1.(2)当 n 为偶数时,Tn=(1+1)20+22+(3+1)22+423+(5+1)24+(n-1)+12n-2+n2n-1=(20+22+322+423+n2n-1)+(20+22+2n-2),设 Hn=20+22+322+423+n2n-1,2Hn=2+222+323+424+n2n,- ,得 -Hn=20+2+22+23+2n-1-n2n= -n2n=(1-n)2n-1,1-2n1-212H n=(n-1)2n+1,T n=(n-1)2n+1+ 2n+ .1-4n21-4=(n-23) 23当 n 为奇数
12、,且 n3 时,Tn= +(n+1)2n-1= 2n-1+ +(n+1)2n-1= 2n-1+ ,Tn-1 (n-53) 23 (2n-23) 23经检验, T1=2 符合上式,T n=(2n-23)2n-1+23,n为奇数,(n-23)2n+23,n为偶数 . 21.(12 分)已知椭圆 C: =1(ab0)的长轴长为 4,焦距为 2 .x2a2+y2b2 2(1)求椭圆 C 的方程;(2)过动点 M(0,m)(m0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点 .过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.
13、 设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k,证明 为定值;kk 求直线 AB 的斜率的最小值 .(1)解 设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a=4,2c=2 ,2所以 a=2,b= .a2-c2= 2所以椭圆 C 的方程为 =1.x24+y22(2) 证明 设 P(x0,y0)(x00,y00).由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线 PM 的斜率 k= ,2m-mx0 =mx013直线 QM 的斜率 k= =- .-2m-mx0 3mx0此时 =-3.所以 为定值 -3.kk kk 解 设 A(x1,y1),B(x2,y2).直线 PA 的方程为 y=kx+m
14、,直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.联立 y=kx+m,x24+y22=1,整理得(2 k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由 x0x1= ,可得 x1= ,2m2-42k2+1 2(m2-2)(2k2+1)x0所以 y1=kx1+m= +m,2k(m2-2)(2k2+1)x0同理 x2= ,2(m2-2)(18k2+1)x0y2= +m.-6k(m2-2)(18k2+1)x0所以 x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0- 2(m2-2)(2k2+1)x0= ,-32k2(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0y2-y1= +m- -m-6k(m2-2)(18k2+1
15、)x0 2k(m2-2)(2k2+1)x0= ,-8k(6k2+1)(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0所以 kAB= .y2-y1x2-x1=6k2+14k =14(6k+1k)由 m0,x00,可知 k0,所以 6k+ 2 ,等号当且仅当 k= 时取得 .1k 6 66此时 ,即 m= ,符合题意 .m4-8m2= 66 147所以直线 AB 的斜率的最小值为 .621422.(12 分)已知函数 f(x)=x- -aln x,1x(1)若 f(x)无极值点,求 a 的取值范围;(2)设 g(x)=x+ -(ln x)2,当 a 取(1)中的最大值时,求 g(x)的最小值;1x(
16、3)证明: ln (nN *).ni=1 12i(2i+1) 2n+12n+1(1)解 求导函数,可得 f(x)= .x2-ax+1x2 函数 f(x)无极值点, 方程 x2-ax+1=0 在(0, + )内无根或有唯一根, 方程 a=x+ 在(0, + )内无根或有唯一根,1x又 x+ 2(当且仅当 x=1 时取等号),1x =2,a 2 .(x+1x)min故 a 的取值范围是( - ,2.(2)解 当 a=2 时, f(x)=x- -2lnx,g(x)=x+ -(lnx)2,1x 1x由(1)知, f(x)在(0, + )内是增函数,当 x(0,1)时, f(x)=x- -2lnxf(1
17、)=0,1x即 x- 2lnx0;1x 当 x0 时, |2lnx|=|lnx2|,|x-1x|令 x2=t0, |lnt|,| t-1t|两边平方,得 t+ -2(ln t)2,1t 当 t0 时, t+ -2(ln t)2成立,当且仅当 t=1 时取等号, 当 x=1 时,函数 g(x)取最小值 2.1t15(3)证明 由上知,当 x1 时, x+ -(lnx)22,1x 当 x1 时, lnx 成立,x-1x令 x= ,得 ln ,2n+12n 2n+12n - 2n2n+1 2n+12n即 ln ,12n(2n+1) 2n+12n 不等式: ln +lnni=1 12i(2i+1) 21+121 2n+12nln +ln21+221+1 2n+22n+1=ln =ln .(2n20+121+12n-1+12n+1) 2n+12n+1即 ln (nN *).ni=1 12i(2i+1) 2n+12n+1
