1、- 1 -湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(五)数学(文科)第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 A、 B，若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：先由点 对应的复数可以得到点 的坐标，在利用中点坐标公式可以求出点的坐标，最后就可以得到点 对应的复数由于复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 利用中点坐标公式得线段 的中点 ，所以点 对应的复数 ，故选C考点：1、复平面；2 复平面内的点与复数的一一对应关系；3、线段的中点2.设命题 ，命题 q：函数
2、没有零点，则 p 是 q 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：本题可以从集合的关系作为切入点，先由 得出函数 没有零点时 的范围，再将此范围与 进行比较，即可得到 的关系由函数 没有零点，则 ，即 ，显然， 可以推出 ，而 不能推出 ，故选 B考点：1、命题；2、充分条件，必要条件；3、函数零点3.点 )到直线 的距离等于 4，且在 表示的平面区域内，则 a 的值为( )A. 3 B. 7 C. 3 D. 7【答案】C【解析】- 2 -试题分析：先由点到直线的距离公式列出关于 的一个等式，再根据点在 所表示的平
3、面区域内列出一个不等式，最后将两式联立，即可求出 的值由题意可得，解之得 ，故选 C考点：1、点到直线的距离；2、线性规划4.已知函数 是偶函数，当 时， ，则在 上，下列函数中与 的单调性相同的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：先根据 的奇偶性判断出其在 上的单调性，然后再逐一检验选项中哪个选项符合要求，即可得到答案由于 是偶函数，并且当 时， ，所以 在 上是增函数，因此 在 上是减函数，对 A，B，C，D 各选项逐一判定后知，函数 在上是减函数，故选 C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性5.如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 572
4、4 B. 5715C. 4815 D. 4824【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是圆锥与直四棱柱的组合体，分别计算各部分的面积即可。- 3 -【详解】本题为圆锥与直四棱柱的组合体注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积 ；圆锥底面圆， ；直四棱柱侧面积， ，总面积为.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，属于中档题。6.已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，则该双曲线离心率等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据圆心到渐近线的距离等于半径得出 的关系，进而可求出离心率圆 配方得 ，所以圆心为 ，半径为 ，
5、由已知圆心 到直线 的距离为 ，可得 ，可得 ，故选 A考点：1、双曲线；2、渐近线；3、圆；4、点到直线距离【此处有视频，请去附件查看】7.将参加夏令营的 400 名学生编号为：001，002，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 40 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 400 名学生分住在三个营区，从 001 到 180在第一营区，从 181 到 295 在第二营区，从 296 到 400 在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( )A. 18，12，10 B. 20，12，8 C. 17，13，10 D. 18，11，11【答案】A【解析】【分析】由系统抽样的特点可知，抽样间隔
6、为 ，从而可以分别求出三个营区被抽中的人数。- 4 -【详解】根据系统抽样特点，抽样间隔为 ，被抽到号码 ， .由题意可知，第一营区可分为 18 个小组，每组抽取 1 人，共抽取 18 人，由第二营区的编号为 181 到295，可知 ， ，可得 18 ，因此第二营区应有 12 人，第三营区有 10 人，所以三个营区被抽中的人数分别为 18，12，10.【点睛】本题考查了系统抽样，属于基础题。8.已知ABC 中， ，AB、BC 分别是 ， 的等差中项与等比中项，则ABC 的面积等于( )A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】试题分析：首先根据等差中项与等比中项的定义算出 的长度，然后再
7、根据三角形的正弦定理求出角 的大小，最后再由三角形的面积公式即可求出答案由条件 ，由 ，得 或 或 ， 或 故选 D考点：1、等差中项，等比中项；2、正弦定理；3、三角形面积【易错点晴】本题是一个关于数列与三角形正弦定理相结合的综合性问题，属于中等难度问题解决本题 有两个易错点，一是在求 与 的等比中项时，负值应该舍去，因边长大于零，这点应该注意；再一个特别容易出错的地方是由正弦定理求角 时，根据大边对大角的原理知，角 应有两个值，一个锐角一个钝角，稍不细心就会丢解，出现错误9.图中， ， ， 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， 为该题的最终得分，当， ， 时， 等于（ ）- 5 -A
8、. 11 B. 10 C. 8 D. 7【答案】C【解析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件 是否成立是解答本题的关键， , 不成立,即为“否” ，所以再输入 ；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式 知，点 到点 的距离小于点 到 的距离，所以当时， 成立，即为 “是” ，此时 ，所以 ，即 ，解得 ，不合题意；当 时， 不成立，即为“否” ，此时 ，所以 ，即 ，解得 ，符合题意，故选 C【此处有视频，请去附件查看】10.设 ， ， 为坐标平面上三点， 为坐标原点，若 与 在 方向上的投影相同，则 与 满足的关系式为（ ）A B C D- 6 -【答案】选 A【
9、解析】由 与 在 方向上的投影相同，可得： 即 ， 11.已知直线 与函数 f（x）= 的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数 m的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：作出 的图象如下：可知 时，直线 与 只有一个交点，不符题意；当 时， 与总有一个交点，故 与 必有两个交点，即方程必有两不等正实根，即方程 必有两不等正实根，所以，解得 ，即 ，故选 B考点：1、分段函数的图象；2、一元二次方程根的判别式【思路点晴】本题是关于一个确定的分段函数的图像与一条动直线的交点个数的问题，属于难题解决本题的切入点是要充分利用数形结合的思想方法，首先作出分段函数的图象，再
10、作出过原点的动直线 的图象，由于 的取值不定，因此需要对 的取值分情况讨论，然后再看那种情况是符合题意的，最后综合以上讨论得出 的取值范围，问题便可获得解决12.已知方程 的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，- 7 -则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由于物线的离心率为 ，知 ，故 ，所以，另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故有两个分别属于 和 的零点，故有 且 ，即且 ，运用线性规划知识可求得 故选 D考点：1、椭圆，双曲线，抛物线的离心率；2、一元二次方程根的分布；3、线性规划【思路点晴】本题是关于一元高次方程的根与圆锥曲线
11、的离心率以及线性规划的综合性问题，属于难题解决本题的基本思路是，由抛物线的离心率是 ，得出 的关系式，并用 表示 ，进而得到关于 两个参数的一元方程，而该方程的二根一个应是椭圆的离心率，一个应是双曲线的离心率，再结合一元二次方程根的分布及线性规划，即可求出 的范围二、填空题：请把答案填在答题卷对应题号后的横线上13.设直线 与圆 交于 A、 B 两点， C 为圆心，且 ABC 面积等于 4，则实数 m=_.【答案】 或【解析】【分析】由三角形 ABC 面积等于 4 可以求出 CA， CB 的夹角为 ，进而求出圆心 C 到直线 l 的距离为2，列出式子即可求出 m 的值。【详解】设 CA， CB
12、 的夹角为 ， ， ，易知圆心 C 到直线 l 的距离为 2， ， 或【点睛】本题考查了直线与圆的关系，涉及三角形的面积公式，点到直线的距离公式，属于- 8 -基础题。14.已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】 （-4，2）【解析】试题分析：因为 当且仅当 时取等号，所以考点：基本不等式求最值15.如图，在矩形 ABCD 中， ，过点 A 向 所在区域等可能任作一条射线 AP，已知事件“射线 AP 与线段 BC 有公共点”发生的概率为 ，则 BC 边的长为_【答案】【解析】试题分析：这是一个几何概型问题，并且属于角度型几何概型问题，应先求出 的度数，再利用直角三角形的边
13、角关系即可求出 边的长因为 ，则 ，所以因为 ，则 考点：1、几何概型；2、直角三角形的边角关系【思路点晴】本题是一个几何概型的概率计算问题，并且属于角度型的几何概型问题，解决问题的关键是要知道基本事件的总数所构成的角度，以及符合条件的基本事件所构成的角度，前者等于 ，而后者等于 ，其中 的度数可利用已知条件求出，只要求出这两个角度，接下来即可顺利的解决问题，得出结论16.函数 图象上不同两点 ， 处的切线的斜率分别是 ，规定叫做曲线 在点 A、B 之间的“平方弯曲度” 设曲线 上不同两点， ，且 ，则 的取值范围是_【答案】- 9 -【解析】因为 ，所以 ，由题意可得 ，又因为 ，所以 ，故
14、，令 ，则，因为 ，所以 ，应填答案 。点睛：解答本题的关键是如何理解“曲线 在点 之间的“平方弯曲度” ”这一新概念的新信息，然后依据此概念建立了目标函数 ，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用基本不等式求出该函数的最值使得问题获解。旨在考查与检测迁移新信息，运用新概念的创新意识与分析问题解决问题的创新能力。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数 x 6 5 4 3 2 1正常值 y 55 63 72 80 90 99(1)作出散点图：
15、- 10 -(2)根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 (精确到 0.01)；(3)根据经验，观测值为正常值的 0.851.06 为正常，若 1.061.12 为轻度焦虑，1.121.20 为中度焦虑，1.20 及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为 100，则该学生是否需要进行心理疏导？（ , ）【答案】(1)见解析；(2) (3)见解析【解析】【分析】(1)由表中数据描点即可；(2)运用最小二乘法，分别求出 ， ，即可求出回归方程；(2)将代入线性回归方程中可得 的值，即可求出观测值，从而可以判断是否需要心理疏导
16、。【详解】(1)(2) ， ，所以线性回归方程为(3) 时， ， ，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.- 11 -【点睛】本题考查了线性回归方程的求解及运用，属于中档题。18.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD， PA AD， AB AD， E是线段 PD 上的点， F 是线段 AB 上的点，且 (1)证明： EF平面 PBC；(2)是否存在实数 ，使得异面直线 EF 与 CD 所成角为 60？若存在，试求出 的值，若不存在，请说明理由【答案】 （1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】（1）作 EH AD 交 PA 于点 H，连接 HF，结合
17、 ，可以证明 FH PB，从而可以证明平面EFH平面 PBC，进而得到 EF平面 PBC；（2）异面直线 EF 与 CD 所成角为 60，可知，则 ，再用 分别表示出 与 ，代入即可求出 .【详解】(1)作 EH AD 交 PA 于点 H，连接 HF， EH AD， . 又 ， ， FH PB.又 EH AD， FH HE H，平面 EFH平面 PBC. - 12 - EF 在平面 EFH 内， EF平面 PBC.(2)存在实数 ，使得异面直线 EF 与 CD 所成角为 60.其理由如下：假设存在实数 ，使得异面直线 EF 与 CD 所成角为 60， AB CD， AFE 为异面直线 EF 与
18、 CD 所成角， . 过点 E 作 EQ AD 交 AD 于点 Q，连接 FQ， PA AD， AB AD，设 AD1，又 ，可知 ， ， ， ， ， 中， ， ， .存在实数 ，使得异面直线 EF 与 CD 所成角为 60【点睛】证明线面平行有两种方法，证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可；通过证明直线所在平面与已知平面平行，而得出该直线与已知平面平行。19.在等差数列 中， ， （1）求数列 的通项公式；（2）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前- 13 -项和 【答案】：（） （）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已
19、知式联立可以先求出等差数列 的首项 与公差 ，进而可求出通项公式 ；（2）首先根据要求列出关于 的不等式，再根据 都是正整数，即可判断出落入 内的项数 ，从而求出数列 的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前 项的和 试题解析：（1）因为 是一个等差数列， ，所以 ，即，设数列 的公差为 ，则 ，故 由 ，得 ，即 所以 ，（2）对 ，若 ，则 ，因此 ，故得 ，于是考点：1、等差数列；2、等差数列通项公式及前 项和公式；3、等比数列前 项和公式；4、分组求和法20.已知椭圆 的左、右焦点是 ，左右顶点是 ，离心率是 ，过的直线与椭圆交于两点 P、 Q(不是左、右顶点)，且 的周长是 ，- 1
20、4 -直线 与 交于点 M.(1)求椭圆的方程；(2)()求证直线 与 交点 M 在一条定直线 l 上；() N 是定直线 l 上的一点，且 PN 平行于 x 轴，证明： 是定值【答案】(1) (2) ()见证明；()见证明【解析】【分析】(1)由题意可得 ，可以求出 ， ，从而求出椭圆的方程；(2)()由点斜式分别写出 与 的方程，两式子消去 ，根据韦达定理可得 ， 的坐标关系，进而可以得到点 M 在一条定直线 x2 上；()由于 ，结合点 P 在椭圆上，可以求出 为定值。【详解】(1)设椭圆的焦距是 2c，据题意有： ， ， ，则 ，所以椭圆的方程是 . (2) ()由(1)知 ， ， ，
21、设直线 PQ 的方程是 ，代入椭圆方程得： ，易知 ，设 ， ， ，- 15 -则， 直线 的方程是： ，直线 的方程是： ，设 ，既满足也满足，则，故直线 与 交点 M 在一条定直线 l： x2 上. ()设 ， ， ，则 ， .【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆与直线的综合问题，考查了学生综合分析能力及计算能力，属于难题。21.已知函数 (1)求函数 的单调区间；(2)若 a0，设 是函数 图象上的任意两点 ，记直线 AB 的斜率为 k，求证： .【答案】 （1） （i）当 时， 的单增区间为 ，无单减区间.- 16 -（ii）当 时， 的单增区间为 ， ，单减区间为 .（iii）当
22、时， 的单增区间为 ，单减区间为 .（2）见解析【解析】试题分析：（1）首先求出函数 的导数 ，注意到函数 的定义域是；不等式 ，故只需按 的正，负和零分别讨论，在讨论的过程中当 的情形注意再按两根的大小讨论即可求得函数的单调区间（2）先求得 ，再将直线 AB 的斜率为 用 表示出来得到 ，然后用比差法求得注意到 ，故欲证 ，只须证明： 因为 ，故即证：，令 ，构造函数 ，再利用导数证明 在 上是增函数，从而可得 ，进而得所证不等式成立- 17 -试题解析：（1）解： 1 分（i）当 时， 恒成立，即 恒成立，故函数 的单增区间为 ，无单减区间. 2 分（ii）当 时， ，解得： ，函数 的单
23、增区间为 ， ，单减区间为 . 4 分（iii）当 时，由 解得： . ，而此时 ，函数 的单增区间为 ，单减区间为 . 6 分综上所述：（i）当 时， 的单增区间为 ，无单减区间.（ii）当 时， 的单增区间为 ， ，单减区间为 .（iii）当 时， 的单增区间为 ，单减区间为 . 7 分（2）证明： 由题，则：9 分- 18 -注意到 ，故欲证 ，只须证明： . 10 分因为 ，故即证：11 分令 ， 12 分则： 故 在 上单调递增.所以： 13 分即： ，即： 所以： . 14 分考点：1利用函数的导数研究函数的单调性；2利用导数证明不等式22.选修 44：极坐标与参数方程已知曲线 C
24、 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 ( 为参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值【答案】 （1） （2） 或【解析】【分析】(1)运用极坐标与直角坐标之间的公式转化即可；(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的极坐标中，然后利用 ，即可求出答案。【详解】(1)由 ，- 19 -得圆 C 的方程为 . (2)将 代入圆的方程得 ， 化简得 . 设 A、 B 两点对应的参数分别为 、 ，则所以 ，所以 ， ， 或 .【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标之间的转化，及直线的参数方程中 t 的含义，属于中档题。23. （本题满分 10 分）选修 45: 不等式选讲.（）设函数 .证明： ；（）若实数 满足 ,求证:【答案】 （） 见解析；（） 见解析【解析】试题分析：（）由 ，及均值不等式有 ，所以 ；（） ,由柯西不等式得:（当且仅当 即 时取“ ”号）整理得: ,即试题解析： （）由 ，有所以 5 分（） ,由柯西不等式得:（当且仅当 即 时取“ ”号）- 20 -整理得: ,即 10 分考点：不等式证明- 21 -
