1、- 1 -闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题高一数学（时间 120 分钟，满分 150 分）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分） 1.设集合 或 则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 或故选：C2.已知集合 若 则 的子集个数为（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 32【答案】C【解析】集合 M=1，2，N=2，3，4，则 P=MN=1，2，3，4，P 的子集有 24=16 个故答案为：C3.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 2cosx10，得 cosx
2、 ，解得： - 2 -函数 的定义域为故选：B4.计算 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，.故选：B5.已知向量 与 反向，则下列等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量 与 反向： = ， = ，故选：C6.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知得，而 所以 ，选 D.考点：平面向量的线性运算，相反向量.【此处有视频，请去附件查看】7.若点 是 所在平面内一点，且满足 ，则 等于（ - 3 -）A. B. C. D.
3、【答案】B【解析】由题意可知： 则 M 为ABC 的重心，由重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等，3SABM =SABC ，S ABM ：S ABC = ，故答案选：B8.已知全集 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】全集 A=y|y=log2x，1x2=（0，1） ，=（ ，+） ，则 AB=（ ，1） ，故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.9.已
4、知幂函数 的图像经过点 ，则下列正确的是（ ）A. B. （其中 ）C. D. （其中 ）【答案】D【解析】- 4 -设幂函数 f（x）=x ，其图象过点 ，2 = =解得 = ，f（x）= ；f（x）在 R 递减，故选：D10.若 的内角 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得，故选 D.【此处有视频，请去附件查看】11.设函数 的最小正周期为 ，且图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图像（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】D【解析】函数 的最小正周期为 ，即：
5、 ，=2则 f（x）=sin（2x+） ，向左平移 个单位后得：sin（2x+ +）是奇函数，- 5 -即 +=k，kZ=k ，| ，则 = 故得 f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x ） 由对称中心横坐标可得：2x =k，可得：x= ，kZA，B 选项不对由对称轴方程可得：2x =k+ ，可得：x= ，kZ当 k=0 时，可得 故选：D点睛：本题主要考查了三角函数中的平移变换以及 的对称性等，对称轴及对称中心（由 可得对称轴方程，由 可得对称中心横坐标；在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对 ，上下针对 而言”的原则.12.已知 是定义在 R 上的偶函数，且 ，若 ，则方程 在
6、区间 内解的个数的最小值是（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】B【解析】f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（3x）=f（x） ，f（x3）=f（x） ，f（x）是以 3 为周期的周期函数，又f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（2）=0，f（2）=0，f（5）=f（2）=0，f（1）=f（2）=0，f（4）=f（1）=0即在区间（0，6）内，- 6 -f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，方程 f（x）=0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是：4故选：B点睛：本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断，由 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函
7、数，且 f（2）=0，可得 f（2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于 0第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若非零向量 满足 ，则 的夹角为_.【答案】120【解析】设向量的夹角为 ，由题意可得：，即 与 的夹角为 120.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用14.已知 则 _【答案】【解析】由 可得：cos ， cos故答案为：15.函数 的定义域为 _【答案】【解析】由 log0.
8、9（2x6）0，- 7 -得 02x61，即 3x 函数 的定义域为 故答案为： 16.设函数 ，则下列结论正确的是_ （写出所有正确的编号）的最小正周期为 ； 在区间 上单调递增； 取得最大值的 的集合为将 的图像向左平移 个单位，得到一个奇函数的图像【答案】【解析】对于函数 ，由于它的周期为 =，故正确令 2k2x 2k，kz，求得 k xk+ ，kz，故函数的减区间为k ，k+ ，kz，故 f（x）在区间 上单调递增，故正确令 2x =2k，求得 x=k+ ，kz，故 f（x）取得最大值的 x 的集合为x|x= +k，kZ，故不正确将 f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数 y=2co
9、s2（x+ ） =2cos（2x+ ）=2sin2x 的图象，由于 y=2sin2x 为奇函数，故正确故答案为：点睛：点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数 可以求出:的周期 ;单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得） ；值域（） ；对称轴及对称中心（由 可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知平面直角坐标系中，点 为原点， (I)求 的坐标及 ；- 8 -()设 为单位向量，且 ，求 的坐标【答案】 （1） , （2） ，或【解析】试题分析：（I）利用向量的坐标运算直接
10、求 的坐标及 ；（II）利用向量的垂直，数量积为 0，结合单位向量求解即可试题解析：（I） ,()设单位向量 ，所以 ，即又 ,所以 即由 ，解得 或者所以 ，或18.已知函数 (I)求 的最小正周期及对称中心坐标；()求 的递减区间【答案】 （1） ，对称中心坐标为 . ;（2）递减区间为【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期，利用正弦函数的对称中心求解函数的对称中心坐标；（2）利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可试题解析：（I） ，- 9 -则 的最小正周期 ，由 ，得即 ，的对称中心坐标为 . ;()由 ，
11、得 ，的递减区间为 .19.已知角 终边上一点 (I)求 的值：() 若为第三象限角，且 ，求 的值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）利用任意角的三角函数定义，求出角的正弦函数与余弦函数值，利用诱导公式化简，代入求解即可；（2）利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可试题解析：因为 为角 终边上一点，所以 ， .= ，= = ;- 10 -() ,又因 为第三象限角，且 ，所以 ，则=点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间
12、的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.20. 的周长为 ，且 （1）求边 的长；（2）若 的面积为 ，求角 的度数【答案】 （1）1；（2）【解析】（1）由正弦定理得 可化为 ，又周长为 ，所以.（2）根据三角形的面积公式可求出，由余弦定理求出 所以 解：（1）由题意及正弦定理，得 ， 两式相减，得 （2）由 的面积 ，得 ，由余弦定理，得所以 21. 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有- 11 -由+ 得 -令 有代入得 （）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;（）若 的三个内角 满足
13、,试判断 的形状【答案】 （1）根据两角和差的余弦公式可以得到结论，（2） 为直角三角形【解析】试题分析：解法一：()因为 ， ， 2 分- 得 . 3 分令 有 ，代入得 . 6 分()由二倍角公式, 可化为, 8 分即 . 9 分设 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 ，由正弦定理可得 . 11 分根据勾股定理的逆定理知 为直角三角形. 12 分解法二：()同解法一.()利用()中的结论和二倍角公式, 可化为， 8 分因为 A,B,C 为 的内角，所以 ，- 12 -所以 .又因为 ，所以 ,所以 .从而 . 10 分又因为 ,所以 ，即 .所以 为直角三角形. 12 分考点：两角和与
14、差三角函数公式、二倍角公式点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等22.已知函数 是定义在 上的奇函数.（1）求 的值和实数 的值；（2）判断函数 在 上的单调性，并给出证明；（3）若 且 求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）增函数，见解析；（3）【解析】试题分析：（1）直接把 0 代入即可求出 f（0）的值；再结合 f（x）+f（x）=0 对定义域内的所有自变量成立即可求出实数 m 的值；（2）先研究内层函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数 f（x）在（1，1）上的单调性；（3）先根据 得到 a 的范围；再结合其为奇函数把 f（b2）+f（2b2）0 转化为f（b2）f（22b） ，结合第二问的单调性即可求出实数 b 的取值范围试题解析：（I）因为 是奇函数。所以：，- 13 -，即 对定义域内的 都成立. .所以 或 （舍）.（）；设设 ，则.当 时， 在 上是增函数.（）由得函数 是奇函数，由（）得 在 上是增函数的取值范围是- 14 - 15 -
