1、1专题 04 三角函数与三角恒等变换第一季1已知 是函数 图象的一个最高点， 是与 相邻的两个最低点.设，若 ，则 的 图象对称中心可以是（ ）A B C D【答案】D【解析】结合题意,绘图， ，所以周期 ，解得 ，所以，令 k=0，得到所以 ，令 ,得对称中心 ，令 m=1,得到对称中心坐标为 ，故选 D。2抛物线 的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 ，过弦 的中点 作该抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最小值为A B 1 C D2【答案】B【解析】设| AF| a，| BF| b，2由抛物线定义，得| AF| AQ|，| BF| BP|在梯形 ABPQ 中，2| CD|
2、 AQ|+|BP| a+b由余弦定理得，|AB|2 a2+b22 abcos60 a2+b2 ab配方得，| AB|2（ a+b） 23 ab，又 ab（ ） 2，（ a+b） 23 ab（ a+b） 2 （ a+b） 2 （ a+b） 2得到| AB| （ a+b）| CD| 1，即 的最小值为 1故选： B3已知函数 的图像经过点 和 .若函数 在区间 上有唯一零点，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】函数 的图象经过点 和 .3令 ，在区间 上有唯一零点，等价于 在 上有唯一解，的图象 时有一个交点，故由正弦函数图象可得 或 ，解得 ,故选 D.4如图，在半径为 1 的
3、扇形 AOB 中（ O 为原点） ， 点 P（ x， y）是 上任意一点，则 xy+x+y 的最大值为（ ）A B1 C D【答案】D【解析】4由题意知 x=cos，y=sin，0 ，则 xy+x+y=sincos+sin+cos，设 t=sin+cos，则 t2=1+2sincos，即 sincos= ，则 xy+x+y=sincos+sin+cos=t=sin+cos= sin（+ ） ，0 ， + ， .当 t= 时， xy+x+y 取得最大值为： 故选：D5已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则A B C D【答案】
4、C【解析】由函数 的图像过点 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 ；的图像向左平移 各单位后为：，由两图像完全重合可得 ，所以 ， ;又因为 在 单调，5所 以 ，所以 ，所以 ；所以 ，其图像对称轴位 ，即 ， ；当 ，其对称轴为 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选 C。6已知存在 ，且 ，使得 ，其中 ，则实数 的值可能为A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】由 得 ,所以 ,即 ，因为 ，所以当 时， ，舍去；当 时， ，舍去；当 时， ，舍去；当 时， ，选 D.7已知函数 ，两个等式：对任意的实数 均恒成立，且 上单调，则的最大值为A1 B2 C3 D4【答案】A61.当 时， ，因
5、为 对任意的实数 x 均恒成立，所以，因为 ，所以 ，所以 ，可以验证 在 上不单调，2.当 时， ，因为 对任意的实数 x 均恒成立，所以，因为 所以 所以 ，可以验证 在 上单调，所以 w=1.故选 A.8已知函数 ， 有三个不同的零点 ，且 ，则 的值为（ ）A B C D不能确定【答案】A【解析】画出函数 在 内的图像以及 的图像如下图所示，令 ，解得 ，令，解得 .由图像可知关于直线 对称， 关于直线 对称，故 ，所以 .79如图，某大风车的半径为 2 米，每 12 秒旋转一周，它的最低点 O 离地面 1 米，点 O 在地面上的射影为 A.风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始，逆时
6、针方向旋转 40 秒后到达 P 点，则点 P 到点 A 的距离与点 P 的高度之和为（ ）A5 米 B(4 )米C(4 )米 D(4 )米【答案】D【解析】以圆心 为原点，以水平方向为 x 轴方向，以竖直方向为 y 轴方向，建立平面直角坐标系，如图所示设O P，运动 t(秒)后与地面的距离为 f(t)，又 T12，8 t，f(t)32cos t，t0，风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始，逆时针方向旋转 40 秒后到达 P 点，6 ，P( ，1)，点 P 的高度为 32 4.A(0，3)，AP ，点 P 到点 A 的距离与点 P 的高度之和为(4 )米，故选 D10已知点 O 是锐角ABC
7、的外心，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，A= ，且，则 的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图所示： O 是锐角 ABC 的外心，D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，且 OD AB， OE AC，设 ABC 外接圆半径为 R，则 R，由图得， ，则 ，同理可得， ，由 得，所以 ，9则 ，在 ABC 中由正弦定理得： ，代入得， ，则 ，由正弦定理得， 、 ，代入得，2 RsinCcosB+2RcosCsinB R；所以 2sin（ C+B），即 2sin ，解得 ，故选 D11设 分别是 的内角 的对边，已知 ，设 是边 的中点，且 的面积为 ，则 等于（ ）A2
8、B4 C-4 D-2【答案】A【解析】 ， ，由正弦定理可得： ，整理可得：b 2+c2a 2=-bc，由余弦 定理可得：cosA= ，由 A（0，） ，可得：A= ，又 的面积为 ，即 ,bc=4,又 = - = - = -= = =-bccosA=2.故选 A.12已知函数 ，若 ，且 ，则 取最大值时 的值为（ ）A BC D【答案】C1013已知函数 ， 为 的零点， 为 图象的对称轴，如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x，都有 成立，当 取最小值时A 在 上是增函数 B 在 上是增函数C 在 上是减函数 D 在 上是减函数【答案】B【解析】因为 为函数的零点，故 .因为 是图像的
9、对称轴，故 ，故 ， . 因 ，故 或者 ，所以 或者 ， .因 恒成立，故 ，若 ，故 ，所以 ，故 ；若 ，则 ，所以 ，故 ；所以 ，令 ， ，11故 ，所以 在 上为增函数，故选 B.14如图所示，已知 面 ， 于 ， ，令 ， ，则（ ）A BC D【答案】A【解析】因为 PA平面 ABC，ADBC 于 D，BC=CD=AD=1，设 PD=x，所以 ， 在PBC 中，根据余弦定理可得所以所以所以选 A15函数 （ ）的图象关于直线 对称，在区间 上任取三个实数 ， ，总能以 ， ， 的长边构成三角形，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答 案】D【解析】函数 （ ）的图象关于直
10、线 对称12即 ,当 时，即 由三角函数的单调性可知在 区间上，则在区间 上任取三个实数 ， ， ，总能以 ， ， 的长边构成三角形，且 ，即 故选 D.16如图所示,在平面直角坐标系 中,点 , 分别在 轴和 轴非负半轴上,点 在第一象限,且, ,那么 , 两点间距离的( )A最大值是 ,最小值是 B最大值是 ,最小值是C最大值是 ,最小值是 D最大值是 ,最小值是【答案】A【解析】设 BC 与 x 轴的夹角为 （ ） ，E 为ABC 的中点，当 时，如图：易知 ；13当 时，A,O,E 三点构成如图三角形，根据题意，可知 ， ，则 ，即 16 32，解得 ；当 时，如图 ,四边形 ABOC
11、 是正方形，当 时，A,O,E 三点构成如图三角形，同理可求得 ；当 时，易求得 OA=4故 OA 的最大值是 ，最小值是 4故选 A1417已知函数 的图象关于 轴对称，且在区间 上不单调，则 的可能值有A 个 B 个 C 个 D 个【答案】D【解析】已知函数的图象关于 轴对称，根据正弦函数的图象性质，则 ，又 ， ， ，根据题意，可知 在区间 上不单调，则 ， ，即 , ，当 k=1 时， 可以为 3；当 k=2 时， 可以为 7，6，5；当 k=3 时， 可以为 11,10,9,8,7,；当 k=4 时， 可以为 12,11,10,9；当 k=5 时， 可以为 12,11；综上所述， 可
12、以为 3,5，6,7,8,9,10,11,12 ，共 9 个故选 D.18已知函数 ， ，对任意 恒有 ，且在区间上有且只有一个 使 ，则 的最大值为（ ）A B C D【答案】C15分类讨论：.当 k=19 时， ，此时 可使 成立，当 时， ，所以当 或 时， 都成立，舍去；.当 k=18 时， ，此时 可使 成立，当 时， ，所以当 或 时， 都成立，舍去；.当 k=17 时， ，此时 可使 成立，当 时， ，当且仅当 时， 都成立，综上可得： 的最大值为 .本题选择 C 选项.19已知函数 ，对 xR 恒有 ，且在区间上有且只有一个 的最大值为A B C D【答案】B【解析】由题意知
13、， ,则 ，k ，其中 k = ，故 与 同为奇数或同为偶数.16在 上有且只有一个最大，且要求 最大，则区间 包含的周期应该最多，所以，得 ，即 ，所以 .当 时， ， 为奇数， ，此时 ，当 或 6.5 时，都成立，舍去；当 时， ， 为偶数， ，此时 ，当 或 4.5 时，都成立，舍去；当 时， ， 为奇数， ，此时 ，当且仅当 时，成立.综上所述， 最大值为 .故选：B20已知双曲线 ： 右支上的一点 ，经过点 的直线与双曲线 的两条渐近线分别相交于 ， 两点 .若点 ， 分别位于第一，四象限， 为坐标原点.当 时， 的面积为 ，则双曲线 的实轴长为（ ）A B C D【答案】A【解析】可设 的面积为 由题意可得 ，解得 ，由17，可得 即为 代入双曲线的方程 ，可得，化简得 ，由解得 ，所以 .故选 A.
