1、1专题 04 三角函数与三角恒等变换第四季1锐角 中，a，b，c 为角 A， B，C 所对的边 点 G 为 的重心，若 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】如图示：连接 CG，并延长交 AB 于 D，由 G 是三角形的重心，得 D 是 AB 的中点， ，由重心的性质得 ，即 ，由余弦定理得： ， ，则 ，是锐角三角形， ， ，将 代入得： ，故答案为：2在 中，若 ， ，则 面积的最大值为_【答案】2【解析】由 ，得 ，由 ，得 ，又由余弦定理得： ，得 ， ， ，因为，故答案为 .3在平面四边形 ABCD 中， A= B= C=75， BC=2，则 AB 的取值范围是_.【答案】【解析】如图
2、所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = ，平移 AD ，当 D与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75 ，FCB=30，由正弦定理知，即 ，解得 BF= ，所以 AB 的取值范围为（ ， ） .故答案为4将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足的 、 ，有 的最小值为 ，则 _【答案】 或【解析】35某人在塔的正东方向沿着南偏西 60的方向前进 40 m 以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为
3、 30，则塔高为_m【答案】【解析】画示意图如下图所示，此人在 C 处， AB 为塔高，他沿 CD 前进， CD=40 m，此时 DBF=45，从点 C 到点 D 所测塔的仰角，只有点B 到 CD 的距离最短时，仰角最大，这是因为 为定值过点 B 作 BE CD 于点 E，连接 AE，则 在 中， CD=40 m， BCD=30， DBC=135，由正弦定理，得 ， 在 中， 4在 中， ， 故所求的塔高为6已知在 中，角 分别对应边 ，且 ， ， ，则 的面积为_【答案】7已知函数 ， ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是_ _.【答案】【解析】令 ，可得 ， 令 ，解得 ，函数 在区
4、间 内 没有零点， 区间 内不存在整数5又 ， ，又 ， 或 或 ，解得 或 的取值范围是 ，故答案为 8在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点， 是棱 上的动点，若点 为线段上的动点，则 的最 小值为_【答案】69正三角形 边长为 ，其所在平面上有点 、 满足： ， ，则 的最大值为_【答案】【解析】如图所示，建立直角坐标系 ，满足 ，点 的轨迹 方程为 ，令 ，又 ， 则 ，的最大值是 .10 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， 的面积为 ， ，则的最大值为_【答案】711锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】运用余弦定理,
5、 ,代入 ,得到,结合正弦定理,可得所以 ,而 ,所以 ,而 ,解得 ,所以,而所以12若函数 在 内有两个不同的零点，则实数 的取值范围是_.【答案】 或【解析】由题意，函数 令 ， ，则原函数转化为 有两个不同的零点，则转化为函数 在 上有唯一的零点即转化为方程 在 上有唯一的实根或在 上有两相等的实根转化为函数 ， 与函数 有唯一交点8得 或所以 或13设函数 .若对任意实数 a，均有 ，则k 的最小值为_.【答案】16【解析】由条件知，当且仅当 时， 取到最大值.根据条件，知任意一个长为 1 的开区间 至少包含一个最大值点.从而， .反之，当 时，任意一个开区间 均包含 的一个完整周期
6、，此时，.综上，k 的最小值为 ，其中， 表示不超过实数 x 的最大整数.14若实数 、 满足 ，且 的图像上存在两条互相垂直的切线，则 的取值范围为_.【答案】【解析】由题意知，其中， .若 的图像上存在两条互相垂直的切线，则存在 、 使得. 令 .于是， .则由式得 .9故 .又 ，故 .因此， ，即 的取值范围为 .15在 中，设 、 、 的对边分别为 、 、 .如果 、 、 成等比数列，那么，三角方程的解集是_.【答案】【解析】由 、 、 成等比数列，知 不为最大边，故 .不妨设 .由 ，有 .所以， .当 时，取 ，满足 题意.当 时，由 ，有.显然矛盾.当 时，有 ，.又易知 ，故
7、 .又 ，所以，存在 、 、 满足 .故答案为：16已知正整数 满足 .则关于 的方程 在区间 上的解的个数的最大值是_.10【答案】18【解析】因 为奇数，则 ，不妨设 .方程 的解为 .由 得，.所以方程根的个数不多于 .又 ，则 ，即根的个数不多于 19.但最多不能有 19 个根，因为这时包括 时的根，从而方程根的个数不多于 18.下面证明方程根的个数恰等于 18.为此只要证明当 不等于 0 时， .若不然，有 ，即 ，从而 是 19 的倍数.但 ，所以这是不可能的.故原方程最多有 18 个根.17满足 的锐角 _.【答案】【解析】原方程等价于 .则 或 . 由得 .在 上是增函数，.此不等式有唯一的整数解 .解得 .11由得 .，.此不等式无整数解.综上原方程的解为 .18方程 的解集为_。【答案】19设 .则函数 的最小值为_.【答案】68【解析】因 ，所以 .设 ，则当且仅当时，式等号成立，此时， ， .12设 ，则 .而，故 .注意到 ，易知满足限制条件的根只有 .当 时， ，不等式取得等号.所以，函数 的最小值为 .故答案为:6820已知 ，且 .则 的值为_.【答案】【解析】由题意知 ，即 .则 . 又 ，有 .则 ，即 .解得 .13
