1、111 锐角三角函数第 1 课时 正切与坡度1理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3能运用正切、坡度解决问题(难点)一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶问题 1：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？问题 2：如何描述图中台阶的倾斜程度？除了用 A 的大小来描述，还可以用什么方法？方法一：通过测量 BC 与 AC 的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点 B1，测出 B1C1与 AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切【类
2、型一】 根据正切的概念求正切值分别求出图中 A、 B 的正切值(其中 C90)2由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为_解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可解：如图，tan A ，tan B ；如图1612 43 1216 34， BC 48，tan A ，tan B .732 5524855 5548因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第 1 题【类型二】 在网格中求正切值已知：如图，在由边长
3、为 1 的小正方形组成的网格中，点 A、 B、 C、 D、 E 都在小正方形的顶点上，求 tan ADC 的值解析：先证明 ACD BCE，再根据 tan ADCtan BEC 即可求解解：根据题意可得 AC BC ， CD CE ， AD BE5，12 22 5 12 32 10ACD BCE(SSS) ADC BEC.tan ADCtan BEC .13方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第 3 题【类型三】 构造直角三角形求三角函数值如图，在 Rt ABC 中
4、， C90， BC AC， D 为 AC 的中点，求 tan ABD 的值解析：设 AC BC2 a，根据勾股定理可求得 AB2 a，再根据等腰直角三角形的性质，2可得 DE 与 AE 的长，根据线段的和差，可得 BE 的长，根据正切三角函数的定义，可得答案解：如图，过 D 作 DE AB 于 E.设 AC BC2 a，根据勾股定理得 AB2 a.由 D 为 AC2中点，得 AD a.由 A ABC45，又 DE AB，得 ADE 是等腰直角三角形，3 DE AE . BE AB AE ，tan ABD .2a2 32a2 DEBE 13方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角
5、不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题探究点二：坡度【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的横断面如图堤高 BC 是 5 米，迎水斜坡 AB 的长是 13 米，那么斜坡 AB 的坡度是( )A13 B12.6 C12.4 D12解析：由勾股定理得 AC12 米则斜坡 AB 的坡度 BC AC51212.4.故选 C.方法总结：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成 i1 m 的形式变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 9 题【
6、类型二】 利用坡度解决实际问题已知一水坝的横断面是梯形 ABCD，下底 BC 长 14m，斜坡 AB 的坡度为 3 ，另3一腰 CD 与下底的夹角为 45，且长为 4 m，求它的上底的长(精确到 0.1m，参考数据：61.414， 1.732)2 3解析：过点 A 作 AE BC 于 E，过点 D 作 DF BC 于 F，根据已知条件求出 AE DF 的值，再根据坡度求出 BE，最后根据 EF BC BE FC 求出 AD.解：过点 A 作 AE BC，过点 D 作 DF BC，垂足分别为 E、 F. CD 与 BC 的夹角为 45， DCF45， CDF45. CD4 m， DF CF 4
7、(m)， AE DF4 m.6462 3 3斜坡 AB 的坡度为3 ， tan ABE ， BE4m. BC14m ， EF BC BE CF14443AEBE 33 3 10 4 (m) AD EF， AD104 3.1(m)3 3 3所以，它的上底的长约为 3.1m.方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题三、板书设计正切与坡度1正切的概念4在直角三角形 ABC 中，tan A . A的 对 边 A的 邻 边2坡度的概念坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本概念、基础知识
