1、11.5 三角函数的应用1通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)2能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活” ，人们常选择自行车作为代步工具，图所示的是一辆自行车的实物图图是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档 AC与 CD的长分别为 45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆 CE的长为 20cm.点 A、 C、 E在同一条直线上，且 CAB75.你能求出车架档 AD的长吗？二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】 利用方向角解决问题某船以每小时 36海里的速度向正东方向航行，在点 A测得某岛 C在北偏东 60方向上，航
2、行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围 16海里内有暗礁(1)试说明点 B是否在暗礁区域外；(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由解析：(1)求点 B是否在暗礁区域内，其实就是求 CB的距离是否大于 16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在可通过构造直角三角形来求 CB的长，作 CD AB于 D点， CD是 Rt ACD和 Rt CBD的公共直角边，可先求出 CD的长，再求出 CB的长；(2)本题实际上是问 C到 AB的距离即 CD是否大于 16，如果大于则无触礁危险，反之则有， CD的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可解：(1)作 CD AB于 D点，设
3、 BC x，在 Rt BCD中， CBD60， BD x， CD12x.在 Rt ACD中， CAD 30，322tan CAD ， . x18.1816，点 B是在暗礁区域外；CDAD 3332x18 12x 33(2) CD x9 ，9 16 ，若继续向东航行船有触礁的危险32 3 3方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 4题【类型二】 利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动在活动中，某小
4、组为了测量校园内号楼 AB的高度(如图)，站在号楼的 C处，测得号楼顶部 A处的仰角 30，底部 B处的俯角 45.已知两幢楼的水平距离 BD为 18米，求号楼 AB的高度(结果保留根号)解析：根据在 Rt BCE中，tan BCE ，求出 BE的值，再根据在 Rt ACE中，BECEtan ACE ，求出 AE的值，最后根据 AB AE BE，即可求出答案AECE解： AB BD， CD BD， CE AB，四边形 CDBE是矩形， CE BD18 米在 RtBEC中， ECB45， EB CE18 米在 Rt AEC中，tan ACE ， AE CEtan ACE18tan306 (米)，
5、AECE 3 AB AE EB186 (米) 3所以，号楼 AB的高为(186 )米3方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第 1题【类型三】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、 B两点，小张为了测量 A、 B之间的河宽，在垂直于新大桥 AB的直线型道路 l上测得如下数据： BDA76.1， BCA68.2，CD82 米求 AB的长(精确到 0.1米，参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.
6、0，sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5)3解析：设 AD xm，则 AC( x82)m.在 Rt ABC中，根据三角函数得到AB2.5( x82)m，在 Rt ABD中，根据三角函数得到 AB4 x，依此得到关于 x的方程，进一步即可求解解：设 AD xm，则 AC( x82)m.在 Rt ABC中，tan BCA ， AB ACtan BCA2.5( x82)在 Rt ABD中，ABACtan BDA ， AB ADtan BDA4 x，2.5( x82)4 x，解得ABADx . AB4 x4 546.7m.4103 4103所以， AB的长约为 546.
7、7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 5题【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡 AE的长度她先在山脚下点 E处测得山顶 A的仰角是 30，然后，她沿着坡度是i11(即 tan CED1)的斜坡步行 15分钟抵达 C处，此时，测得 A点的俯角是 15.已知小丽的步行速度是 18米/分，图中点 A、 B、 E、 D、 C在同一平面内，且点 D、 E、 B在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡 AE的长度
8、(参考数据： 1.41，结果精确到 0.12米)解析：作辅助线 EF AC于点 F，根据速度乘以时间得出 CE的长度，通过坡度得到 ECF30，通过平角减去其他角从而得到 AEF45，即可求出 AE的长度解：作 EF AC于点 F，根据题意，得 CE1815270(米)tan CED1， CED DCE45. ECF90451530， EFCE135 米 CEF60， AEB30， AEF18045603045，12 AE EF135 190.4(米)2 2所以，娱乐场地所在山坡 AE的长度约为 190.4米方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形三、板书设计三角函数的应用1方向角的概念2三角函数的实际应用4本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步只有这样，才能真正提高课堂教学效率.
