1、1压轴大题拉分练(05)(满分：24 分 时间：30 分钟)1(12 分)已知椭圆 C： 1( a b0)的左右焦点分别为 F1， F2，若椭圆上一点x2a2 y2b2P 满足 |PF1| PF2|4，过点 R(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M， N(263， 1)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 M 作 x 轴的垂线，交椭圆 C 于 G，求证：存在实数 ，使得 GF2 F2N (1)解：依题意，| PF1| PF2|2 a4，故 a2将 代入椭圆 1 中，解得 b23，(263， 1) x24 y2b2故椭圆 C 的方程为： 1x24 y23(2)证明：由题知直线 l 的斜率
2、必存在，设 l 的方程为 y k(x4)设点 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 G(x1， y1)，联立Error!得 3x24 k2(x4) 212即(34 k2)x232 k2x64 k2120，则 0， x1 x2 ， x1x2 ，32k23 4k2 64k2 123 4k2由题可得直线 NG 方程为 y y1 (x x1)，y2 y1x2 x1又 y1 k(x14)， y2 k(x24)，直线 NG 方程为 y k(x14) (x x1)，k x2 4 k x1 4x2 x1令 y0，整理得 x x1x1x2 4x2 x21 4x1x1 x2 8 2x1x2 4 x1 x2
3、x1 x2 8264k2 123 4k2 432k23 4k232k23 4k2 8 1， 243 4k232k2 24 32k23 4k2即直线 NG 过点(1,0)又椭圆 C 的右焦点坐标为 F2(1,0)，2三点 G， F2， N 在同一直线上 存在实数 ，使得 GF2 F2N 2(12 分)已知函数 f(x)ln x ， g(x) xln x n(x21)( m， nR)2 x 1x 1(1)若函数 f(x)， g(x)在区间(0,1)上均单调且单调性相反，求实数 n 的取值范围；(2)若 0 a b，证明： aba bln a ln b a b2(1)解： f( x) 0，1x 4
4、x 1 2 x 1 2x x 1 2所以 f(x)在(0,1)上单调递增由已知 f(x)， g(x)在(0,1)上均单调且单调性相反，得 g(x)在(0,1)上单调递减所以 g( x)ln x12 nx0 在(0,1)上恒成立，即 2n ，ln x 1x令 (x) (x(0,1)， ( x) 0，ln x 1x ln xx2所以 (x)在(0,1)上单调递增， (x) (1)1，所以 2n1，即 n 12(2)证明：由(1) f(x)ln x 在(0,1)上单调递增，2 x 1x 1f(x)ln x f(1)0，即 ln x ，2 x 1x 1 2 x 1x 1令 x (0,1)得 ln ，ab ab2(ab 1)ab 1 2 a ba bln 0， ab a bln a ln b a b2在(1)中，令 n ，由 g(x)在(0,1)上均单调递减得 g(x) g(1)0，12所以 xln x (x21)0，即 ln x ，12 12(x 1x)取 x (0,1)得 ln ，ab ab 12(ab ba)即 ln aln b ，a bab由 ln aln b0 得： ，aba bln a ln b3综上： aba bln a ln b a b2
