1、1第 2 讲 小题考法三角恒等变换与解三角形一、主干知识要记牢1两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin( )sin cos cos sin cos( )cos cos sin sin tan( ) tan tan 1tan tan 辅助角公式： asin bcos sin( )a2 b2(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 降幂公式：sin 2 ，cos 2 1 cos 22 1 cos 22tan 2 2tan 1 tan22正弦定理 2 R(2R 为 ABC 外接圆的直径)asi
2、n A bsin B csin C变形： a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2Ra b csin Asin Bsin C3余弦定理a2 b2 c22 bccos A，b2 a2 c22 accos B，c2 a2 b22 abcos C推论：cos A ，cos B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C a2 b2 c22ab4三角形面积公式2S ABC bcsin A acsin B absin C12 12 12二、二级结论要用好1在 ABC 中，tan Atan Btan Ct
3、an Atan Btan C2 ABC 中，内角 A， B， C 成等差数列的充要条件是 B603 ABC 为正三角形的充要条件是 A， B， C 成等差数列，且 a， b， c 成等比数列4 S ABC (R 为 ABC 外接圆半径)abc4R三、易错易混要明了1对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，(0， 2)选余弦较好；若角的范围是 ，选正弦较好( 2， 2)2利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解在 ABC 中，ABsin Asin B考点一 三角恒等变
4、换与求值1三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦2解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小31(2018邵阳模拟)若角 的终边
5、经过点(1,2)，则 sin ( C )( 4)A B31010 1010C D1010 31010解析 由题得 sin ，cos 2 1 2 22 25 255 ，所以 sin sin cos 1 1 2 22 15 155 ( 4) 22 ，故选 C22 255 22 155 22 10102(2018延安一模)已知 sin 3cos( )sin( )，则 sin cos ( 2 ) cos 2 的值为( C )A B15 25C D35 55解析 sin 3cos( )cos 3cos ( 2 )2cos sin( )，tan 2，则 sin cos cos 2 ，sin cos cos
6、2sin2 cos2 tan 1tan2 1 35故选 C3(2018湖北联考)已知 3 4，且 ，则1 cos 2 1 cos 2 62 ( D )A 或 B 或103 113 3712 4712C 或 D 或134 154 196 236解析 3 4， 2，32 2cos 0，sin 0， 2 2 cos sin 1 cos 2 1 cos 2 cos2 2 sin2 2 24 cos ， 2 2 ( 2 4) 62cos ，( 2 4) 32 2 k 或 2 k. kZ， 2 4 6 2 4 6即 4 k 或 4 k， kZ， 6 563 4， 或 ，故选 D196 236考点二 利用正
7、、余弦定理解三角形解三角形问题的求解策略已知条件 解题思路两角 A， B 与一边a由 A B C 及 ，可先求出角 C 及 b，再asin A bsin B csin C求出 c两边 b， c 及其夹角 A由 a2 b2 c22 bccos A，先求出 a，再求出角 B， C三边 a， b， c 由余弦定理可求出角 A， B， C两边 a， b 及其中一边的对角 A由正弦定理 可求出另一边 b 的对角 B，由asin A bsin BC( A B)可求出角 C，再由 可求出 c，而通过asin A csin C 求角 B 时，可能有一解或两解或无解的情况asin A bsin B1(2018潍
8、坊二模)在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 ，则 A( C )2sin C sin Bsin B acos Bbcos AA B 6 4C D 3 23解析 ，2sin C sin Bsin B acos Bbcos A5由正弦定理可得 ，2c bb acos Bbcos A即 abcos B(2 c b)bcos A由余弦定理可得ab (2 c b)b ，a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc整理可得 bc b2 c2 a2.cos A ， A(0，)， A .故选b2 c2 a22bc 12 3C2(2018武汉一模)在 ABC 中， AB1，
9、BC2，则角 C 的取值范围是( A )A B(0， 6 ( 4， 2)C D 6， 2) ( 6， 2)解析 ，所以 sin C sin A，所以 0sin C ，因 AB BC， C 必定为ABsin C BCsin A 12 12锐角，故 C (0， 63(2018郴州二模)在锐角 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若(a2 b2 c2)tan C ab，则角 C 的值 6解析 在 ABC 中，由( a2 b2 c2)tan C ab，整理得 ，即 cos a2 b2 c22ab 12tan CC ，cos C0，sin C ， C 为 ABC 内角， C 或
10、 ，因为 ABC 为cos C2sin C 12 6 56锐角三角形， C ，故答案为 6 6考点三 正、余弦定理的实际应用解三角形实际问题的常见类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解1如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，6小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 3
11、0，45，且 BAC135.若山高AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为_22.6_m/s(精确到0.1， 1.414， 2.236)2 5解析 因为小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30，45，所以 BAD60， CAD45.设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14 v在 Rt ADB 中， AB 200ADcos BAD 100cos 60在 Rt ADC 中， AC 100 ADcos CAD 100cos 45 2在 ABC 中，由余弦定理，得BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC，即(14 v)2(100 )22
12、00 22100 200cos 135，所以 v 22.6，2 250107所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s2如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为_2_650_m(取 1.4， 1.7)2 3解析 如图，作 CD 垂直于 AB 交 AB 的延长线于点 D，由题意知 A15， DBC45， ACB30又在 ABC 中， AB5042021 000，由正弦定理，得 ，BCsin A ABsin ACB BC sin 1510 500( )21 00012 6 2 CD AD， CD BCsin DBC10 500( ) 10 500( 1)7 3506 222 3故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m)7
