1、1第 3讲 大题考法解三角形考向一 正、余弦定理的基本应用【典例】 (2018南充联考)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知c b2 bcos A(1)若 a2 ， b3，求边 c；6(2)若 C ，求角 B2解 (1)由 c b2 bcos A及余弦定理 cos A ，b2 c2 a22bc得 ，c b2b b2 c2 a22bc所以 a2 b2 bc，所以(2 )23 23 c，解得 c56(2)因为 c b2 bcos A，所以由正弦定理得 sin Csin B2sin Bcos A因为 C ，所以 1sin B2sin Bcos A，2所以 1sin B
2、2sin Bcos ，(2 B)即 1sin B2sin 2B，所以(2sin B1)(sin B1)0，所以 sin B 或 sin B1(舍去)，12因为 0 B ，所以 B 2 6技法总结 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法变式提升1(2018揭阳三诊)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，且 acos C( c3 b)cos A0(1)求 tan A的值；2(2)若 ABC的面积为 ，且 b c2，求 a的值2解 (1) acos C( c3 b)cos A0，sin Acos C(sin C3sin B)cos A0，即 sin Acos Csin Cco
3、s A3sin Bcos Acos A ，13tan A2 2(2)S bcsin A bc bc3，12 12 223 2a2 b2 c22 bccos A( b c)22 bc bc4 38 a2 23 43 22(2018宣城二调) ABC的三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且c24 absin2C(1)求 sin Asin B；(2)若 A ， a3，求 c的大小6解 (1) c24 absin2C，由正弦定理，得 sin2C4sin Asin Bsin2C，又 ABC中，sin C0，sin Asin B 14(2)A 时，sin A ，又 sin Asin B
4、，sin B ，又 A B， B(0，)，6 12 14 12 B ，6 a b3， C A B ，23 c2 a2 b22 abcos C27， c3 3考向二 与三角形面积有关的问题3【典例】 (2017全国卷) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知sin A C 8sin2B2.(1) ；求 cos B(2)若 a c6， ，求 b ABC的 面 积 为 2审题指导看到三角恒等式，想到三角恒等变换公式，遇平方要降次看到求 cos B，想到条件中 A C化为 B后，恒等变换可求看到三角形面积，想到恰当的选择相应的三角形面积公式规范解答 (1)由题设及 A B C
5、得sin B8sin 2 ， 2分B2即 sin B4(1cos B)， 3分故 17cos2B32cos B150， 4分解得 cos B ，cos B1(舍去) . 6分1517(2)由 cos B ，得 sin B ， 7分1517 817故 S ABC acsin B ac. 8分12 417又 S ABC2，则 ac . 9分172由余弦定理及 a c6 得b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B) 10分4362 172 (1 1517)4. 11分所以 b2. 12分处利用倍角公式时，易把 sin2 记为 sin2 ，导致化简结果错B 1 cos B
6、2 B 1 cos B2误处根据三角形中内角的范围舍去 cos B1 易忽视处关键是利用(1)的结论，结合平方关系求出 sin B，由此明确面积公式的选择处若出现 a c及 ac，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用技法总结 与三角形面积有关的问题的解题模型变式提升3(2018永州三模)在锐角 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且cos Asin 2( B C)03(1)求 A的值；(2)若| b c| ， ABC的面积为 ，求 a的值5 3解 (1) cos Asin 2( B C)0，3 cos Asin 2( A) cos Asin 2 A03 3
7、cos A2sin Acos A03又 ABC为锐角三角形，cos A0，sin A . A6032(2)由 S ABC bcsin A bc ，得 bc4，12 12 32 3| b c|2 b2 c22 bc5， b2 c2135 a2 b2 c22 bccos A1324 9.即 a3124(2018榆林三诊)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 acos Bbcos C ccos B2 33(1)求 B；(2)若 b ， c2 ， a b求 ABC的面积7 3解 (1)因为 acos B，bcos C ccos B2 33所以 sin A sin Acos B，233而 sin A0，故 cos B ，32所以 B 6(2)由 b2 a2 c22 accos B，得 712 a222 a ，化简得 a26 a50，解332得 a5，或 a1(舍去)，所以 S ABC acsin B 12 532
