1、1第 4 讲 解三角形1.(2018 江苏南通调研)在ABC 中,已知 AB=1,AC= ,B=45,则 BC 的长为 . 22.(2018 江苏扬州调研)在ABC 中,若 sinAsinBsinC=456,则 cosC 的值为 . 3.(2018 江苏三校联考)在ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a+ c=2b,sinB= sinC,则2 2cosC= . 4.(2018 江苏南京、盐城模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 bsinAsinB+acos2B=2c,则的值为 . ac5.(2018 江苏南京模拟)在ABC 中,角 A,B,C
2、 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= ,则C 的值为 . 26.(2018 苏锡常镇四市调研)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 acosB-bcosA= c,则 = 35 tanAtanB. 7.(2018 南京师大附中模拟)在ABC 中,已知 +2 =3 ,则 cosC 的最小值是 . ABACBABCCACB8.(2018 江苏南通中学模拟)在ABC 中,BC 边上的中线长等于 BC 长的 2 倍,则 的最大值为 sin Bsin Csin2A. 9.(2018 苏锡常镇四市调研)在ABC 中,三个内角
3、 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设ABC 的面积为 S,且4S= (a2+c2-b2).3(1)求B 的大小;(2)设向量 m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),求 mn 的取值范围.10.(2018 江苏南通中学模拟)在ABC 中,AB= ,BC=5,tan = .10 (A- 4)12(1)求 sinA 的值;(2)求ABC 的面积.211.(2018 江苏扬州中学模拟)已知ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(1,2),n=,且 mn=1.(cos2A,cos2A2)(1)求角 A 的大小;(2)若 b+c=2a=2 ,求 s
4、in 的值.3 (B- 4)答案精解精析1.答案 2+ 62解析 由余弦定理可得 2=BC2+1- BC,即 BC2- BC-1=0,解得 BC= (舍负).2 22+ 622.答案 18解析 sinAsinBsinC=456,由正弦定理可得 abc=456,不妨设 a=4,b=5,c=6,则由余弦定理可得 cosC= = = .a2+b2-c22ab 16+25-3640 183.答案 34解析 sinB= sinC,由正弦定理得 b= c,则 a= c.由余弦定理可得 cosC= = .2 2 22c2+2c2-c222c2 344.答案 2解析 由正弦定理及题意得sinAsin2B+si
5、nAcos2B=2sinC,即 sinA=2sinC,则 = =2.acsinAsinC35.答案 6解析 在ABC 中,sinB=sin(A+C),则 sinAcosC+sinCcosA+sinAsinC-sinAcosC=0,即 sinCcosA+sinAsinC=0.又 sinC0,则 cosA+sinA=0,即 tanA=-1.又 A(0,),则 A= .由正弦定理34得 = ,即 = ,则 sinC= .又 C ,则 C= .asinA csinC 222 2sinC 12 (0, 4) 66.答案 4解析 由正弦定理可将条件 acosB-bcosA= c 变形为 sinAcosB-
6、sinBcosA= sinC,则 sinAcosB-sinBcosA=35 35sin(A+B)= (sinAcosB+cosAsinB),化简得 sinAcosB=4sinBcosA,所以 tanA=4tanB,即 =4.35 35 tanAtanB7.答案 23解析 设ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, +2 =3 ,即ABACBABCCACBbccosA+2accosB=3abcosC,bc +2ac =3ab ,化简得 a2+2b2=3c2,则 cosC=b2+c2-a22bc a2+c2-b22ac a2+b2-c22ab= = ,当且仅当 a=b 时取等号,故最小
7、值是 .a2+b2-c22ab 2a2+b26ab 226 23 2 238.答案 1715解析 设ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,取 BC 的中点为 D,连接 AD,则 AD=2a.又ADB+ADC=,cosADB+cosADC=0.由余弦定理可得 + =0,化简得 b2+c2=(2a)2+(a2)2-c222aa2(2a)2+(a2)2-b222aa2a2.又 = = tanA= tanA,当且仅当 b=c 时取等号,此时 ADBC,tan = = ,则172 sinBsinCsin2A sinAsinBsinC2sin2AcosA bcsinA2a2cosA b2+c
8、24a2 178 A2a22a14tanA= = = ,所以 = ,故 的最大值为 .2tanA21-tan2A2121-116815 sinBsinCsin2A 178 8151715 sinBsinCsin2A 17159.解析 (1)由题意得 4 acsinB= (a2+c2-b2),12 3则 sinB= ,3(a2+c2-b2)2ac所以 sinB= cosB.3因为 sinB0,所以 cosB0,所以 tanB= .3又 00,所以 00, 解得 所以 sinA= .sinA=31010,cosA= 1010. 31010(2)在ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2
9、ABACcosA,所以 25=10+AC2-2 AC ,101010解得 AC=5 或 AC=-3(舍去).所以ABC 的面积 S= ABACsinA= 5 = .12 12 10 3101015211.解析 (1)由题意得 mn=cos2A+2cos2 =2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA.Amn=1,2cos 2A+cosA=1,解得 cosA= 或 cosA=-1.又 0A,cosA= ,A= .12 12 3(2)在ABC 中,由余弦定理得( )2=b2+c2-2bc =b2+c2-bc,312又 b+c=2 ,b=2 -c,代入整理得 c2-2 c+3=0,解得 c= ,b= ,3 3 3 3 3于是 a=b=c= ,即ABC 为等边三角形,B= ,3 3sin =sin =sin cos -cos sin = .(B- 4) ( 3- 4) 3 4 3 4 6- 245
