1、1课时跟踪检测（五） “平面向量、三角函数与解三角形”专题提能课A 组易错清零练1设 x， yR，向量 a( x,1)，b(1， y)，c(2，4)，且 ac, bc，则|ab|( )A. B.5 10C2 D105解析：选 B 由题意可知Error!解得Error!故 ab(3，1)，|ab| .102(2019 届高三河南中原名校质量考评)将函数 ysin(2 x )的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为( ) 6A. B. 3 6C0 D. 4解析：选 B 将函数 ysin(2 x )的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度后，得到的 6图象对应的
2、函数解析式为 ysin sin .2(x 6) (2x 3 )因为所得函数为偶函数，所以 k (kZ)， 3 2即 k (kZ)，则 的一个可能取值为 ，故选 B. 6 63(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 C60，b ， c3，则 A_.6解析：由正弦定理，得 sin B ，bsin Cc 6sin 603 22因为 0 B180，所以 B45或 135.因为 b c，所以 B C，故 B45，所以 A180604575.答案：75B 组方法技巧练1已知向量 a，b，且|a| ，a 与 b 的夹角为 ，a(2ab)，则|b|( )3 6A
3、2 B42C. D33解析：选 B 如图，作 a， b， a，b ，作OA OB 62a，则 2ab.由 a(2ab)可知， OC BC.在 Rt OCB 中，OC BC OC2|a|2 ，cosa，b ，解得|b| 4.故选 B.323|b| 322在 ABC 中， A120，若三边长构成公差为 4 的等差数列，则最长的边长为( )A15 B14C10 D8解析：选 B 在 ABC 中， A120，则角 A 所对的边 a 最长，三边长构成公差为 4 的等差数列，不妨设 b a4， c a8( a8)由余弦定理得 a2( a4) 2( a8) 22( a4)(a8)cos 120，即 a218
4、 a560，所以 a4(舍去)或 a14.3(2018广州模拟)已知 ABC 的三个顶点 A， B， C 的坐标分别为(0,1)，( ，0)，2(0，2)， O 为坐标原点，动点 P 满足| |1，则| |的最小值是( )CP OA OB OP A. 1 B. 13 11C. 1 D. 13 11解析：选 A 已知点 C 坐标为(0，2)，且| |1，所以设 P(cos ，2sin CP )，则| | OA OB OP cos 2 2 sin 1 2 1.4 22cos 2sin 4 23cos 4 23 34已知 AB 为圆 O：( x1) 2 y21 的直径，点 P 为直线 x y10 上
5、任意一点，则 的最小值为( )PA PB A1 B 2C2 D2 2解析：选 A 由题意，设 A(1cos ，sin )， P(x， x1)，则 B(1cos ，sin )， (1 cos x，sin x 1)， (1cos x，sin PA PB x1)， (1cos x)(1cos x)(sin x1)(sin PA PB x1)(1 x)2cos 2 ( x1) 2sin 2 2 x211，当且仅当 x0 时，等号成立，故选 A.5在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b5， a3，cos( B A) ，79则 ABC 的面积为( )3A. B152 52
6、3C5 D22 2解析：选 C 如图所示，在边 AC 上取点 D 使 A ABD，则cos DBCcos( ABC A) ，设 AD DB x，在 BCD 中，由余弦79定理得，(5 x)29 x223 x ，解得 x3.故 BD BC，在等腰三79角形 BCD 中， DC 边上的高为 2 ，所以 S ABC 52 5 ，故选212 2 2C.6已知在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 c1，cos Bsin C( asin B)cos(A B)0.(1)求角 C 的大小；(2)求 ABC 面积的最大值解：(1)由 cos Bsin C( asin B)co
7、s(A B)0，可得 cos Bsin C( asin B)cos C0，即 sin(B C) acos C，sin A acos C，即 cos C.sin Aa因为 sin C，sin Aa sin Cc所以 cos Csin C，即 tan C1， C . 4(2)由余弦定理得 12 a2 b22 abcos a2 b2 ab， 4 2所以 a2 b21 ab2 ab， ab ，当且仅当 a b 时取等号，所以212 2 2 22S ABC absin C .所以 ABC 面积的最大值为 .12 12 2 22 22 2 14 2 14C 组创新应用练1已知 ABC 的三个内角为 A，
8、B， C，重心为 G，若 2sin A sin B GA 3 GB 3sin C 0，则 cos B_.GC 解析：设 a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，由正弦定理得2a b 3 c 0，则 2a b 3 c 3 c(GA 3 GB GC GA 3 GB GC 4 )，即(2 a3 c) ( b3 c) 0.又 ， 不共线，所以Error!由GA GB GA 3 GB GA GB 此得 2a b3 c，所以 a b， c b，于是由余弦定理得 cos B .332 33 a2 c2 b22ac 112答案：1122对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 .若平面向量 a，b 满
9、足 |a|b|0，a 与 b 的夹角 ，且 ab 和 ba 都在集合 中，则(0， 4) n2|n Zab _.解析：ab ， abbb |a | b |cos | b |2 |a |cos | b |ba . baaa |b|a|cos |a|2 |b|cos |a| ， 0，00)的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则|3 sin x1 cos x| 23 的最小值是_5解析：由题意，得 f(x) cos x sin x 2cos ( 0)，|3 sin x1 cos x| 3 ( x 6)将函数 f(x)2cos ( 0)的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数
10、( x 6) 23为 y2cos 2cos .因为 y2cos 为偶 (x23) 6 ( x 2 3 6) ( x 2 3 6)函数，所以 k( kZ)即 (kZ)又 0，所以 的最小值是 .2 3 6 6k 14 54答案：544在平面直角坐标系 xOy 中， 是一个平面点集，如果存在非零平面向量 a，对于任意 P ，均有 Q ，使得 a，则称 a 为平面点集 的一个向量周期现有OQ OP 以下四个命题：若平面点集 存在向量周期 a，则 ka(kZ， k0)也是 的向量周期；若平面点集 形成的平面图形的面积是一个非零常数，则 不存在向量周期；若平面点集 ( x， y)|x0， y0，则 b(
11、1,2)为 的一个向量周期；若平面点集 ( x， y)|y x0( m表示不大于 m 的最大整数)，则 c(1,1)为 的一个向量周期其中真命题是_(填序号)解析：对于，取 ( x， y)|x0， y0，a(1,0)，则 a 为 的向量周期，但a(1,0)不是 的向量周期，故是假命题；易知是真命题；对于，任取点 P(xP， yP) ，则存在点 Q(xP1， yP2) ，所以 b 是 的一个向量周期，故是真命题；对于，任取点 P(xP， yP) ，则 yP xP0，存在点 Q(xP1， yP1)，所以yP1 xP1 yP1( xP1)0，所以 Q ，所以 c 是 的一个向量周期，故是真命题综上，
12、真命题为.答案：5已知函数 f(x)2sin cos ，过 A(t， f(t)， B(t1， f(t1)两点的直( 6x) ( 6x)线的斜率记为 g(t)(1)求函数 g(t)的解析式及单调递增区间；(2)若 g(t0) ，且 t0 ，求 g(t01)的值45 ( 12， 1)6解：(1)易知 f(x)2sin cos sin ，所以 g(t)( 6x) ( 6x) ( 3x) f(t1) f(t)f t 1 f tt 1 tsin sin cos sin cos .( 3t 3) ( 3t) 32 ( 3t) 12 ( 3t) ( 3t 6)令 2k t 2 k， kZ，得 6k t6 k ， kZ，所以函数 g(t) 3 6 72 12cos 的单调递增区间为 ， kZ.( 3t 6) 6k 72， 6k 12(2)由题意得 g(t0)cos ， t0 ，( 3t0 6) 45 ( 12， 1)所以 t0 ， 3 6 (0， 2)所以 sin ，( 3t0 6) 35所以 g(t01)cos cos cos sin 3 t0 1 6 ( 3t0 6) 3 12 ( 3t0 6) 32 ( 3t0 6) 12 45 .32 35 4 3310
