1、1课时跟踪检测（十六）大题考法圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1(2018浙江高考名师预测卷二)已知椭圆 C： 1( a b0)的一个焦点与抛x2a2 y2b2物线 y28 x 的焦点相同， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点 M 为椭圆上任意一点，2MF1F2面积的最大值为 4 .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 上的任意一点 N(x0， y0)，从原点 O 向圆 N：( x x0)2( y y0)23 作两条切线，分别交椭圆于 A， B 两点试探究|OA|2| OB|2是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由解：(1)抛物线 y28 x 的焦点为(2 ，0)，2 2由题
2、意可得 c2 .2当点 M 位于椭圆短轴的端点处时， MF1F2的面积最大，即有 b2c4 ，解得 b2，12 2所以 a2 b2 c24812，故椭圆 C 的方程为 1.x212 y24(2)设直线 OA： y k1x， OB： y k2x， A(x1， y1)， B(x2， y2)，设过原点与圆( x x0)2( y y0)23 相切的切线方程为 y kx，则有 ，整理得( x 3) k22 x0y0k y 30，|kx0 y0|1 k2 3 20 20所以 k1 k2 ， k1k2 .2x0y0x20 3 y20 3x20 3又因为点 N 在椭圆上，所以 1，x2012 y204所以可求
3、得 k1k2 .y20 312 3y20 3 13将 y k1x 代入椭圆方程 x23 y212，得 x ，则 y .21121 3k21 21 12k211 3k21同理可得 x ， y ，2121 3k2 2 12k21 3k2所以| OA|2| OB|2 12 1 k211 3k21 12 1 k21 3k212 1 k21 1 3k2 12 1 k2 1 3k21 1 3k21 1 3k22 16.162 3 k21 k2 2 3 k21 k2所以| OA|2| OB|2的值为定值，且为 16.2.如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： 1( ab0， y0)和部y2a2 x2b2分抛物线
4、 C2： y x21( y0)连接而成， C1与 C2的公共点为A， B，其中 C1的离心率为 .32(1)求 a， b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1， C2分别交于点 P，Q(均异于点 A， B)，是否存在直线 l，使得以 PQ 为直径的圆恰好过点 A，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在 C2的方程中，令 y0，可得 x1， A(1,0)， B(1,0)又 A， B 两点是上半椭圆 C1的左、右顶点， b1.设 C1的半焦距为 c，由 及 a2 c2 b21 可得 a2， a2， b1.ca 32(2)由(1)知，上半椭圆 C1的方程为 x21( y
5、0)y24由题易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y k(x1)( k0)代入 C1的方程，整理得( k24) x22 k2x k240.设点 P 的坐标为( xP， yP)，又直线 l 经过点 B(1,0)， xP1 ， xP .2k2k2 4 k2 4k2 4从而 yP ，点 P 的坐标为 . 8kk2 4 (k2 4k2 4， 8kk2 4)同理，由Error!得点 Q 的坐标为( k1， k22 k) (k，4)， k(1， k2)AP 2kk2 4 AQ 依题意可知 AP AQ， 0，即 k4( k2)0，AP AQ 2k2k2 4 k0， k4( k2)0，解得
6、k .83经检验， k 符合题意，83故直线 l 的方程为 y (x1)8333.已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，右焦点为 F，右x2a2 y2b2 12顶点为 E， P 为直线 x a 上的任意一点，且( ) 2.54 PF PE EF (1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F 且垂直于 x 轴的直线 AB 与椭圆交于 A， B 两点(点 A 在第一象限)，动直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，且 M， N 位于直线 AB 的两侧，若始终保持 MAB NAB，求证：直线 MN 的斜率为定值解：(1)设 P ， F(c,0)， E(a,0)，则 ， ，(54a， t) PF
7、(c 54a， t) PE ( a4， t)( c a,0)，EF 所以( ) 2，即 (c a)2，又PF PE EF (c 32a， 2t) (c a， 0) (c 32a)e ，ca 12所以 a2， c1， b ，3从而椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)知 A ，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，(1，32)设 MN 的方程为 y kx m，代入椭圆方程 1，x24 y23得(4 k23) x28 kmx4 m2120，所以 x1 x2 ， x1x2 .8km4k2 3 4m2 124k2 3又 M， N 是椭圆上位于直线 AB 两侧的动点，若始终保持 M
8、AB NAB，则 kAM kAN0，即 0，y1 32x1 1y2 32x2 1(x21) (x11)0，(kx1 m32) (kx2 m 32)即(2 k1)(2 m2 k3)0，得 k .12故直线 MN 的斜率为定值 .124(2018镇海中学 5 月模拟)已知抛物线 C1， C2的方程分别为 x22 y， y22 x.(1)求抛物线 C1和抛物线 C2的公切线 l 的方程；(2)过点 G(a， b)(a， b 为常数)作一条斜率为 k 的直线与抛物线 C2： y22 x 交于 P，Q4两点，当弦 PQ 的中点恰好为点 G 时，试求 k 与 b 之间的关系解：(1)由题意可知，直线 l
9、的斜率显然存在，且不等于 0，设直线 l 的方程为 y tx m.联立Error! 消去 y 并整理得 x22 tx2 m0，因为直线 l 与抛物线 C1相切，所以 1(2 t)24(2 m)0，整理得 t22 m0. 同理，联立Error!得 2tm1. 由，解得Error!所以直线 l 的方程为 y x .12(2)由题意知直线 PQ 的方程为 y b k(x a)，即 y k(x a) b.联立Error!消去 y 得 k2x2(2 k2a2 kb2) x k2a2 b22 kab0，当 k0 时，直线 PQ 与抛物线 C2： y22 x 只有一个交点，故 k0，设点 P(x1， y1)
10、，Q( x2， y2)，所以由根与系数的关系得 x1 x2 ，2k2a 2kb 2k2所以 .x1 x22 k2a kb 1k2又 y1 y2 k(x1 a) b k(x2 a) b k(x1 x2)2 ka2 b 2 ka2 b2k2a 2kb 2k ，2k2a 2kb 2 2k2a 2kbk 2k所以 .y1 y22 1k要满足弦 PQ 的中点恰好为点 G(a， b)，根据中点坐标公式可知Error!即Error!所以kb1.故 k 与 b 之间的关系是互为倒数5已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，它的一个焦点恰好与抛物22线 y24 x 的焦点重合(1)求椭圆 C
11、的方程；(2)设椭圆的上顶点为 A，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB， AC，若直线 AB， AC 斜率之积为 ，直线 BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由145解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，则 c1.由 e 得 a ，所以 b1，ca 22 2所以椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)由(1)知 A(0,1)，当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC： x x0，设 B(x0， y0)，则 C(x0， y0)，kABkAC ，y0 1x0 y0 1x0 1 y20x20 12x20x20 12 14不合题意故直线 BC 的斜率存在设直线
12、 BC 的方程为 y kx m(m1)，并代入椭圆方程，得：(12 k2)x24 kmx2( m21)0， 由 (4 km)28(12 k2)(m21)0，得 2k2 m210. 设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则 x1， x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1 x2 ， x1x2 ，4km1 2k2 2 m2 11 2k2由 kABkAC 得：y1 1x1 y2 1x2 144y1y24( y1 y2)4 x1x2，即(4 k21) x1x24 k(m1)( x1 x2)4( m1) 20，整理得( m1)( m3)0，又因为 m1，所以 m3，此时直线 BC 的方程为 y kx3.所以直线 BC 恒过一定点(0,3)1
