1、1阶段质量检测（一） 平面向量、三角函数与解三角形(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2018金华期末)函数 y2sin 2 1 是( )(x 4)A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 2 的奇函数C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 2 的偶函数解析：选 A 因为函数 y2sin 2 1 cos (x 4) 1 2sin2(x 4) (2x 2)sin 2 x，所以函数是最小正周期为 的奇函数222已知向量 a(1,2)，b(2， m)，若 ab，则|2a3b|(
2、)A. B470 5C3 D25 5解析：选 B 依题意得， ，所以 m4,2a3b2(1,2)3(2，4)m2 21(4，8)，故|2a3b| 4 . 4 2 8 2 53在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是( )A a2 b B b2 aC A2 B D B2 A解析：选 A 由题意可知 sin B2sin Bcos Csin Acos Csin( A C)，即 2sin Bcos Csin Acos C，又 cos C0，故 2sin B
3、sin A，由正弦定理可知 a2 b.4(2018柯桥区二模)已知不共线的两个非零向量 a，b，满足|ab|2ab|，则( )A|a|2b|C|b|ab|解析：选 A |ab|2ab|，a 22abb 24a 24abb 2，6ab3a 2，a 22ab，|a|22|a|b|cos ，其中 为 a、b 的夹角；2|a|2|b|cos ，又 a，b 是不共线的两个非零向量，|a|a， cb， AB BC BC CA CA AB accos( B) abcos( C) bccos( A)0，cos B0，且 1cos A0，sin Asin B0， 0)高点为 P ，在原点右侧与 x 轴的第一个交
4、点为 Q ，则 f 的值为( )( 6， 1) (512， 0) ( 3)4A1 B22C D12 32解析：选 C 由题意得 ，所以 T，所以 2，则 f(x)T4 512 6 4sin(2 x )，将点 P 代入 f(x)sin(2 x )，得 sin 1，所以( 6， 1) (2 6 ) 2 k( kZ)又| |ACAB.在 ABC 中，由大边对大角得， BAC ABC ACB， BOC AOC AOB，| | | |，且余弦函数在(0，)上为减函数，OA OB OC 5 0，6 6sin 3cos 2cos sin 2故 在 上是增函数，0， 2当 0，即 cos 1 时， 取最小值为
5、 .3 0 22 0 12答案：0,1 12三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分 14 分)(2018杭州期中)在平面直角坐标系 xOy 中， A(1,0)， B(0，1)，C(2,5)， D 是 AC 上的动点，满足 ( R) AD AC (1)求 的值；(2)求 cos BAC；(3)若 ，求实数 的值BD BA 解：(1)2 2(1,1)(1,5)(1,7)，AB AC |2 | 5 .AB AC 1 2 72 2(2)cos BAC . 1 5226 213139(3) ( R)AD AC (1,5)(1,1)( 1，5
6、 1)BD AD AB AC AB ，( 1)1(5 1)0.BD BA 解得 .1219(本小题满分 15 分)(2018台州五月适应性考试)已知函数 f(x) sin xcos 3xsin 2x ， xR.12(1)求 f(x)的单调递增区间及 f(x)图象的对称轴方程；(2)若 ， (0，)， ，且 f( ) f( )，求 的值解：(1) f(x) sin xcos xsin 2x sin 2x cos 2xsin ，312 32 12 (2x 6)由 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 6 2得 k x k (kZ)， 3 6所以 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 3， k 6由
7、 2x k (kZ)，得 x (kZ)， 6 2 k2 6故 f(x)图象的对称轴方程为 x (kZ)k2 6(2)由 f( ) f( )，得 sin sin ，(2 6) (2 6)sin sin ，( 6) ( 6) 展开整理得，cos sin( )0.( 6)因为 ， (0，)， ，所以 sin( )0，所以 cos 0，( 6)所以 k (kZ)， 6 2即 k (kZ) 3因为 ， (0，)，所以 0 2，10故 或 . 3 4320(本小题满分 15 分)(2017杭州期末)设 A 是单位圆 O 和 x轴正半轴的交点， P，Q 是圆 O 上两点， O 为坐标原点， AOP ， 6
8、AOQ ， .0， 2(1)若 Q ，求 cos 的值；(35， 45) ( 6)(2)设函数 f( )sin ( )，求 f( )的值域OP OQ 解：(1)由已知得 cos ，sin ，35 45cos .( 6) 35 32 45 12 33 410(2) ， (cos ，sin )，OP (32， 12) OQ cos sin ，OP OQ 32 12 f( ) sin cos sin2 sin 2 cos2 sin .32 12 34 14 14 12 (2 6) 14 ，0， 22 ， 6 6， 56当 2 时， 6 6f( )取得最小值 0，12 ( 12) 14当 2 时， f
9、( )取得最大值 1 . 6 2 12 14 34 f( )的值域是 .0，3421(本小题满分 15 分)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足2 asin Csin B asin A bsin B csin C.3(1)求角 C 的大小；11(2)若 acos bcos(2k A)(kZ)且 a2，求 ABC 的面积( 2 B)解：(1)由 2 asin Csin B asin A bsin B csin C 及正弦定理，得 2 absin 3 3C a2 b2 c2， sin C ，3a2 b2 c22ab sin Ccos C，3tan C ， C
10、.33 6(2)由 acos bcos(2k A)(kZ)，( 2 B)得 asin B bcos A，由正弦定理得 sin Asin Bsin Bcos A，sin Acos A， A ， 4根据正弦定理可得 ，解得 c ，2sin 4csin 6 2 S ABC acsin B 2 sin( A C) sin .12 12 2 2 ( 4 6) 3 1222(本小题满分 15 分)已知向量 a(2,2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 ，且34ab2.(1)求向量 b；(2)若 t(1,0)，且 bt，c ，其中 A， B， C 是 ABC 的内角，若(cos A， 2cos2C2)A，
11、B， C 依次成等差数列，试求|bc|的取值范围解：(1)设 b( x， y)，则 ab2 x2 y2，且|b| 1 ，ab|a|cos 34 x2 y2联立方程组Error!解得Error!或Error!b(1,0)或 b(0，1)(2)bt，且 t(1,0)，b(0，1) A， B， C 依次成等差数列， B . 3bc (cos A，cos C)，(cos A， 2cos2C2 1)|bc| 2cos 2Acos 2C1 (cos 2Acos 2 C)1212112cos 2A cos(43 2A)112(cos 2A 12cos 2A 32sin 2A)1 cos .12 (2A 3) A ，则 2A ，(0，23) 3 ( 3， 53)1cos ，(2A 3)12 | b c|2 ，12 54故 | b c| .22 52| b c|的取值范围为 .22， 52)
