1、1第 9 讲 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题基础题组练1过椭圆 C： 1( ab0)的右顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点x2a2 y2b2B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为左焦点 F，若 0， b0)的右焦点 F 作圆 x2 y2 a2的切x2a2 y2b2线 FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. B.2 3C2 D. 5解析：选 A.因为 OM PF，且 MF PM，所以 OP OF，所以 OFP45，所以|OM| OF|sin 45，即 a c ，所以 e .22 ca 23(2018高考浙江卷)已知
2、点 P(0，1)，椭圆 y2 m(m1)上两点 A， B 满足 2x24 AP ，则当 m_时，点 B 横坐标的绝对值最大PB 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 2 ，得 即AP PB x1 2x2，1 y1 2（ y2 1） ， )x12 x2， y132 y2.因为点 A， B 在椭圆上，所以 得 y2 m ，所以14 34x m(32 y2)2 m2 m (m5) 244，所以当 m5 时，点 B 横坐标的绝214 52 94 14对值最大，最大值为 2.答案：524已知椭圆 C： 1 的右焦点为 F， P 为椭圆 C 上一动点，定点 A(2，4)，则x24 y23
3、|PA| PF|的最小值为_ 解析：如图，设椭圆的左焦点为 F，则| PF| PF|4，所以| PF|4| PF|，所以| PA| PF| PA| PF|4.当且仅当 P， A， F三点共线时，| PA| PF|取最小值| AF| 5，所以| PA| PF|的最小值为 1.（ 2 1） 2 16答案：15已知椭圆 M： 1( ab0)的离心率为 ，焦距为 2 .斜率为 k 的直线 l 与椭x2a2 y2b2 63 2圆 M 有两个不同的交点 A， B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k1，求| AB|的最大值解：(1)由题意得 解得 a ， b1.a2 b2 c2，ca 63，2c 22.
4、 ) 3所以椭圆 M 的方程为 y21.x23(2)设直线 l 的方程为 y x m， A(x1， y1)， B(x2， y2)由 得 4x26 mx3 m230.y x m，x23 y2 1)所以 x1 x2 ， x1x2 .3m2 3m2 34|AB| （ x2 x1） 2 （ y2 y1） 2 2（ x2 x1） 2 2（ x1 x2） 2 4x1x2 .12 3m22当 m0，即直线 l 过原点时，| AB|最大，最大值为 .66(2018高考浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C： y24 x 上存在不同的两点 A， B 满足 PA， PB 的中点均在
5、 C 上3(1)设 AB 中点为 M，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1( xb0)经过点 ，x2a2 y2b2 (1， 32)离心率为 .12(1)求椭圆 E 的方程；(2)设点 A， F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 C， D 两点，求四边形 OCAD 面积的最大值( O 为坐标原点)4解：(1)由题设得 解得1a2 94b2 1，ca 12，a2 b2 c2， ) a 2，b 3，c 1.)所以椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)设直线 CD 的方程为 x ky1， C(x1， y1)， D(x2， y2)，与椭圆方程 1 联
6、立得(3 k24) y26 ky90.x24 y23所以 y1 y2 ， y1y2 .6k3k2 4 93k2 4所以 S 四边形 OCAD S OCA S ODA 2|y1| 2|y2|12 12| y1 y2| （ y1 y2） 2 4y1y212k2 13k2 412t3t2 1 (其中 t ， t1)123t 1t k2 1因为当 t1 时， y3 t 单调递增，所以 3t 4，1t 1t所以 S 四边形 OCAD3(当 k0 时取等号)，即四边形 OCAD 面积的最大值为 3.2(2018高考全国卷)设抛物线 C： y22 x，点 A(2，0)， B(2，0)，过点 A 的直线 l
7、与 C 交于 M， N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ABM ABN.解：(1)当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x2，可得 M 的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线 BM 的方程为 y x1 或 y x1.12 12(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ABM ABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x2)( k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则x10， x20.由 得 ky22 y4 k0，可知 y1 y2 ， y1y24.y k（ x 2） ，y2 2x )
8、2k5直线 BM， BN 的斜率之和为kBM kBN .y1x1 2 y2x2 2 x2y1 x1y2 2（ y1 y2）（ x1 2） （ x2 2）将 x1 2， x2 2 及 y1 y2， y1y2的表达式代入式分子，可得y1k y2kx2y1 x1y22( y1 y2) 0.2y1y2 4k（ y1 y2）k 8 8k所以 kBM kBN0，可知 BM， BN 的倾斜角互补，所以 ABM ABN.综上， ABM ABN.3设椭圆 C： y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l(异于 x 轴)与 C 交于 A， B 两点，x22点 M 的坐标为(2，0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，
9、求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，求 的值 OMA OMB解：(1)由已知得 F(1，0)， l 的方程为 x1，点 A 的坐标为 或 ，(1，22) (1， 22)所以 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)当 l 与 x 轴垂直时， OMA OMB，所以 1. OMA OMB当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x1)( k0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 MA， MB 的斜率之和为 kMA kMB ，y1x1 2 y2x2 2由 y1 k(x11)， y2 k(x21)得kMA kMB .2kx1x2 3k（ x
10、1 x2） 4k（ x1 2） （ x2 2）将 y k(x1)代入 y21，得(2 k21) x24 k2x2 k220，x22所以 x1 x2 ， x1x2 .4k22k2 1 2k2 22k2 1则 2kx1x23 k(x1 x2)4 k 0，4k3 4k 12k3 8k3 4k2k2 1从而 kMA kMB0，故 MA， MB 的倾斜角互补，所以 OMA OMB，所以 1. OMA OMB综上可得 1. OMA OMB64.如图，已知离心率为 的椭圆 C： 1( a b0)经过点22 x2a2 y2b2A(2，0)，斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，交 y 轴于点
11、 E，点 P 为线段 AB 的中点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 E 关于 x 轴的对称点为 H，过点 E 且与 OP 垂直的直线交直线 AH 于点 M，求 MAP 面积的最大值解：(1)由已知得 ，解得 ，a2 b2 c2e ca 224a2 0b2 1) a 2b 2)所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)椭圆 C 的左顶点 A(2，0)，设 l 的方程： y k(x2)，则 E(0，2 k)， H(0，2 k)，由 ，得(2 k21) x28 k2x8 k240，x24 y22 1y k（ x 2） ) 64 k44(2 k21)(8 k24)160.设 A(x1， y1
12、)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，则 x1 x2 ， x1x2 ，8k22k2 1 8k2 42k2 1则 x0 (x1 x2) ， y0 k(x02) k ， kOP 12 4k22k2 1 ( 4k22k2 1 2) 2k2k2 1 y0x0 ，2k4k2 12k直线 EM 的斜率 kEM 2 k，1kOP所以直线 EM 的方程为 y2 kx2 k，即 y2 k(x1)，直线 AH 的方程为 y k(x2)，所以点 M ，(43， 23k)点 M 到直线 l： kx y2 k0 的距离 d ，(43， 23k) | 43k 23k 2k|k2 1 |43k|k2 1|AB| |x1 x2| ，1 k2 1 k2（ x1 x2） 2 4x1x241 k22k2 1|AP| |AB| ，12 21 k22k2 17 MAP 的面积 S |AP|d ，当12 12 21 k22k2 1 |43k|k2 1 43|k|2k2 1432|k| 1|k|4322 23且仅当| k| 时取等号所以 MAP 面积的最大值为 .22 23
