1、14 分式方程第 1 课时 分式方程的概念及列分式方程教学目标一、基本目标1理解分式方程的概念2能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义3经历“实际问题建立分式方程模型”的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识二、重难点目标【教学重点】分式方程的概念【教学难点】根据题意列分式方程教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P125 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1分母中含有未知数的方程叫做分式方程2下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ； 7； ； 1； ；2 x 10x 22 x3 4x 3y 1x 2
2、 3x x x 1x 3 x x2 x 15； x 2； 3 x1.1x 2x 1x解：是整式方程，是分式方程3甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工一件，乙加工服装 24 件所用的时间与甲加工服装 20 件所用的时间相同如何用方程来描述其中数量间的相等关系？解：设甲每天加工服装 x 件，可得方程 .20x 24x 1环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】下列关于 x 的方程中，是分式方程的是( )A B 34 x5 2 3x6 2x 17 x22C 1 D 1x 7x 12 12 x 2x【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个方程是否是分式方程？【分析】
3、A、 B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程； C 中方程分母不含表示未知数的字母， 是常数； D 中方程分母含未知数 x，故是分式方程【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母【例 2】某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个设原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为( )A 15 B 1520x 10x 4 20x 10x 4C 15 D 1520x 10x 4 20x 10x 4【互动探索】(引发学生思考)题中存在着怎
4、样的数量关系？【分析】原计划每天生产 x 个，则实际每天生产(x4)个，根据题意可得等量关系：(原计划 20 天生产的零件个数10 个)实际每天生产的零件个数15 天，根据等量关系列出方程为 15.20x 10x 4【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程活动 2 巩固练习(学生独学)1下列方程是分式方程的是( A )A B 22x 1 5x 3 3y 12 y 56C2 x2 x30 D2x512 8x 172运动会上，八(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费 40 元，乙种雪糕共花费
5、 30 元，甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根，乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的 1.5 倍，若设甲种雪糕的价格为 x 元，根据题意可列方程为( B )A 20 B 20401.5x 30x 40x 301.5xC 20 D 2030x 401.5x 301.5x 40x3一个两位数的个位数字是 4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数3与原两位数的比值是 .如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？74解：设对调前这个两位数的十位数字是 x，可得方程 .410 x10x 4 744某校学生到离学校 15 km 处植树，部分学生骑自行车出发 40 min 后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自
6、行车速度的 3 倍，全体学生同时到达如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？解：设自行车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 3x km/h，可得方程 .15x 153x 4060环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1分式方程的概念2列分式方程练习设计请完成本课时对应练习！第 2 课时 分式方程的解法教学目标一、基本目标1掌握解分式方程的基本方法和步骤2经历和体会解分式方程的基本步骤，使学生进一步了解“转化”思想，能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的方法二、重难点目标【教学重点】解分式方程的基本方法和步骤【教学难点】检验分式方程的解教学过程环节 1 自学提纲，生成问
7、题【5 min 阅读】阅读教材 P126P127 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1使分式方程分母为零的根，称为分式方程的增根产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为零的整式2解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结43解方程： .2x 3 3x解： x9.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】解方程：(1) ； (2) 3.5x 7x 2 1x 2 1 x2 x【互动探索】(引发学生思考)将分式方程化为一元一次方程进行求解【解答】(1)方程两边同乘 x(x2)，得 5(x2)7 x，解得 x5.检验：把 x5 代
8、入最简公分母，得 x(x2)0， x5 是原方程的解(2)方程两边同乘( x2)，得 1 x13( x2)，解得 x2.检验：把 x2 代入最简公分母，得 x20，原方程无解【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入最简公分母检验活动 2 巩固练习(学生独学)1若方程 有增根，则增根为( A )3x 2 ax 4x x 2A0 B2 C0 或 2 D12如果关于 x 的分式方程 1 有增根，则 m 的值为( B )2x 3 mx 3A3 B2 C
9、1 D33关于 x 的方程 1 的解是正数，则 a 的取值范围是 a1 且 a2.2x ax 14解方程：(1) ； (2) 1；12x 2x 3 xx 1 2x3x 3(3) ； (4) 0.2x 1 4x2 1 5x2 x 1x2 x5解：(1)x1. (2)x .32(3)原方程无解 (4)x .32活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 2】若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值2x 2 mxx2 4 3x 2【互动探索】先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根【解答】方程两边都乘(x2)(x2)，得 2(x2)mx3(x2)，即(m1)x10.
10、当 m10 时，此方程无解，此时 m1.方程有增根，则 x2 或 x2.当 x2 时，代入(m1)x10，得(m1)210，m4.当 x2 时，代入(m1)x10，得(m1)(2)10，解得 m6.m 的值是 1，4 或 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1分式方程的解法方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验2分式方程的增根(1)解分式方
11、程会产生增根的原因；(2)分式方程检验的方法练习设计请完成本课时对应练习！第 3 课时 分式方程的应用教学目标一、基本目标1通过创设日常生活中的情境，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性2经历“实际问题情境建立分式方程模型解分式方程检验解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力二、重难点目标6【教学重点】分式方程的应用【教学难点】在实际问题中建立分式方程的模型教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P129 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1 列分式方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出相等关系，列出分式方程；(4)
12、解这个分式方程；(5)检验，看方程的解是否满足方程并符合题意；(6)写出答案2某单位向一所希望小学赠送 1080 件文具，现用 A、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个 B 型包装箱比 A 型包装箱多装 15 件文具，单独使用 B 型包装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 12 个设 B 型包装箱每个可以装 x 件文具，根据题意列方程为 12 .1080x 1080x 153某市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4 天挖完了这块地的一半后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果 1 天就挖完了这块地的另一半乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机 4 天完成了一半，那么甲型
13、挖土机每天挖 4 ，如果设乙型挖土机单独12 18挖这块地需要 x 天，那么一天挖 ；两台挖土机一天共挖 ；两台一天完成另一半所以1x 18 1x列方程为 ；解得 x ，即乙单独挖需 天18 1x 12 83 83环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小7时？【互动探索】(引发学生思考)设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x3)小时
14、，根据等量关系“甲工作效率2乙工作效率甲队单独完成需要时间1”列方程【解答】设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x3)小时由题意，得 1.解得 x6.2x xx 3经检验 x6 是方程的解x39.故甲单独完成全部工程需 6 小时，乙单独完成全部工程需 9 小时【互动总结】(学生总结，老师点评)解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系【例 2】从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/
15、时)的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度【互动探索】(引发学生思考)(1)根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是 x 千米/时，根据乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，列出分式方程，然后求解即可【解答】(1)根据题意，得 4001.3520(千米)故普通列车的行驶路程是 520 千米(2)设普通列车的平均速度是 x 千米/时，则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时根据题意，得 3，解得 x120.520x 4002.5x经检验，x120
16、 是原方程的解则高铁的平均速度是 1202.5300(千米/时)【互动总结】(学生总结，老师点评)解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键活动 2 巩固练习(学生独学)1小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约 84 千米，返回时经过跨海大桥，全程约 45 千米小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的 1.2 倍，所用时间却比返回时多 20 分钟求小丽所乘汽车返回时的平均速度解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是 x 千米/时根据题意，得 .841.2x 45x 2060解得 x75，8经检验，x75 是原方程的解故小丽所乘汽车返回时的平均速度是
17、 75 千米/时2某厂原计划在规定时间内生产通讯设备 60 台，由于改进了技术，每天生产的台数比原计划多 50%，结果提前两天完成任务求改进技术后每天生产通讯设备多少台解：设改进技术前每天生产 x 台根据题意，得 2.60x 601.5x解得 x10.经检验，x10 是原方程的解，则 1.5x15.所以改进技术后每天生产通讯设备 15 台3一列火车从车站开出，预计行程为 450 千米，当它出发 3 小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误 30 分钟，后来把速度提高了 20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度解：设这列火车原来的速度为 x 千米/时根据题意，得 3 .450x 12 45
18、0 3x 1 20% x解得 x75.经检验，x75 是原方程的解所以这列火车原来的速度为 75 千米/时4甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要 40 分钟完工，若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需要再单独整理 20 分钟才能完工(1)乙单独整理需要多少分钟完工？(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过 30 分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？解：(1)设乙单独整理需要 x 分钟完工根据题意，得 1.2040 20 20x解得 x80.经检验，x80 是原分式方程的解故乙单独整理需要 80 分钟完工(2)设甲至少整理 y 分钟才能完工根据题意，得 1.3080 y40解得
19、y25.故甲至少整理 25 分钟才能完工9活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50%售完剩余的水果(1)第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？【互动探索】(1)根据第二次购买水果数多 20 千克，可列出方程，解方程即可得
20、出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量(实际售价当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了【解答】(1)设第一次购买的单价为 x 元，则第二次的单价为 1.1x 元根据题意，得 20.14521.1x 1200x解得 x6.经检验，x6 是原方程的解故第一次水果的进价为每千克 6 元(2)第一次购买水果 12006200(千克)第二次购买水果 20020220(千克)第一次赚钱为 200(86)400(元)，第二次赚钱为 100(96.6)120(90.56.6)12(元)所以两次共盈利 40012388(元)【互动总结】(学生总结，老师点评)本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)列分式方程解应用题的步骤Error!练习设计请完成本课时对应练习！10
