1、1导数的热点问题1在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为 31(升)，在水底作业 10个单位时间，(v10)每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，v2记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y(升)(1)求 y关于 v的函数关系式；(2)若 c v15( c0)，求当下潜速度 v取什么值时，总用氧量最少(2)y ，6v50 240v2 3v3 2 00025v2令 y0，得 v10 ，32当 010 时， y0，函数
2、单调递增，32当 00时， f(x)g(x)(1)解 因为 f( x)1 ，ax2 x2 ax2 (x 0)若 a0，则 f( x)0在定义域内恒成立， f(x)在(，0)，(0，)上单调递增；若 a0，则由 f( x)0，解得 x ，a a由 f( x)0)，axh( x)1 (x0)，ax2 1x x2 x ax2设 p(x) x2 x a，则由 a0知，方程 p(x)0 的判别式 14 a0，设 p(x)0 的正根为 x0， x x0 a0，20 p(1)11 a a1，又 p(0) a1)F( x)2 0恒成立，1x 2x 1x F(x)在(1，)上为增函数，又 F(1)2020， F
3、(x)0，即 h(x)min0，当 x(0，)且 a0时， f(x)g(x)33已知函数 f(x)ln x， g(x) x m(mR)(1)若 f(x) g(x)恒成立，求实数 m的取值范围；(2)已知 x1， x2是函数 F(x) f(x) g(x)的两个零点，且 x10)，则 F( x) 1 (x0)，1x 1 xx当 x1时， F( x)0，所以 F(x)在(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增， F(x)在 x1 处取得最大值1 m，若 f(x) g(x)恒成立，则1 m0，即 m1.(2)证明 由(1)可知，若函数 F(x) f(x) g(x)有两个零点，则 mF ，(1x1)由
4、 F(x1) F(x2)0， mln x1 x1，即证 ln mln x1ln x10，1x2 2x x2 2x 1x2故 h(x)在(0,1)上单调递增， h(x)0得 x0，由 f( x)0， f(0)10，3e2 f(x)有两个零点4(2)证明 f( x)e x 2 x，(ax 1 a) x0 是 f(x)的极值点， f(0) a10， a1， f(x)( x1)e x x2，故要证( x1)e xln( x1) x1，令 x1 t， t0，即证 tet1 ln t t2( t0)，设 h(x)e xexln x x2( x0)，即证 h(x)0( x0)，h( x)ee x(x1) 1
5、1xe( x1) (x0)，(ex1ex)令 u(x)e x (x0)， u( x)e x 0，1ex 1ex2 u(x)在(0，)上单调递增，又 u(1)e 0， u 2eex0时， u(x)0， h( x)0， h(x) h(x0)e x0 ln x0 x02e x0 ln 01 x0 21 x01 x020.1ex0综上得证5已知函数 f(x) ln x(其中 a0，e2.7)1 xax(1)当 a1 时，求函数 f(x)在(1， f(1)点处的切线方程；(2)若函数 f(x)在区间2，)上为增函数，求实数 a的取值范围；(3)求证：对于任意大于 1的正整数 n，都有 ln n .12
6、13 1n(1)解 f(x) ln x，1 xx f( x) (x0)，x 1x2 f(1)0，5 f(1)0， f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 y0.(3)证明 当 a1 时， f(x) ln x， f( x) ，1 xx x 1x2当 x1时， f( x)0， f(x)在(1，)上是增函数则当 x1时， f(x)f(1)0，当 n1时，令 x 1，nn 1 f(x) ln ln 0，1 nn 1nn 1 nn 1 1n nn 1ln ，ln ，ln ，ln ，nn 11n 2112 3213 nn 11nln ln ln ，21 32 nn 112 13 1n即 ln ，(21
7、32nn 1)12 13 1nln n ，12 13 1n即对于任意大于 1的正整数 n，都有 ln n .12 13 1n6已知函数 f(x)e x2ln x， g(x) x2 ax b(a， bR)(1)若对任意的 x(0，)，不等式 f(x)x2 m2ln x恒成立，求实数 m的取值范围；(2)若对任意的实数 a，函数 F(x) f(x) g(x) x22ln x在(0，)上总有零点，求实数 b的取6值范围解 (1)对任意的 x(0，)，不等式 f(x)x2 m2ln x恒成立可转化为不等式 m0， n(x)单调递增从而当 x0，)时， n(x) n(ln 2)22ln 20，即 m(
8、x)0，所以 m(x)在0，)上单调递增， m(x)的最小值是 m(0)1，所以 m 1，即 m的取值范围为 (，1(2)函数 F(x) f(x) g(x) x22ln x在(0，)上总有零点，即 F(x)e x ax b在(0，)上总有零点若 a1.以下证明：当 b1时， F(x)e x ax b在(0，)上总有零点若 a0，(ba) ( ba)且 F(x)在(0，)上连续，故 F(x)在 上必有零点；(0， ba)若 a0， F(0)1 bx21 x2在 x(0，)时恒成立，取 x0 a b0，则 F(x0) F(a b)e a b a(a b) b(a b)2 a2 ab b ab b(
9、b1)0，由于 F(0)1 b0，故 F(x)在(0， a b)上必有零点综上，实数 b的取值范围是(1，)7已知 x1 为函数 f(x)( x2 ax)ln x x的一个极值点(1)求实数 a的值，并讨论函数 f(x)的单调性；(2)若方程 f(x) mx22 x有且只有一个实数根，求实数 m的值7解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)f( x)( x2 ax) (2 x a)ln x11x x(2 x a)ln x( a1)因为 x1 为函数 f(x)的一个极值点，所以 f(1)1(2 a)ln 1( a1)2 a0，解得 a2.故 f(x)( x22 x)ln x x，f( x) x
10、(2 x2)ln x1( x1)(12ln x)令 f( x)0，解得 x11， x21e .ee当 x 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增；(0，ee)当 x 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增(2)方程 f(x) mx22 x，即( x22 x)ln x x mx22 x，整理得( x22 x)ln x x mx2.因为 x0，所以 m .x2 2xln x xx2 x 2ln x 1x令 g(x) ln x ，x 2ln x 1x (1 2x) 1x则 g( x) ln x .2x2 (1 2x) 1x 1x2 2ln x x 1x2令 h(x)2ln x x1，则 h(
11、 x) 10 恒成立，2x所以函数 h(x)在(0，)上单调递增又 h(1)0，所以当 x(0,1)时， h(x)0，即 g( x)0， g(x)单调递增所以 g(x)的最小值为 g(1)10， m0恒成立，求满足条件的最小整数 b的值(1)证明 由题意知 G(x) asin(1 x)ln x，G( x) acos(1 x)(x0)，1x当 x(0,1)，01,00，故函数 G(x)在区间(0,1)上是增函数(2)证明 由(1)知，当 a1 时，G(x)sin(1 x)ln x在(0,1)上单调递增sin(1 x)ln x e x 2 x0 2 22x0 20 x02，(x02 1)又 m 0e x02， x0(0 ，ln 2)恒成立，(x02 1)令 m(x) ex x2， x(0，ln 2)，(x2 1)则 m( x) (x1)e x1，12令 n(x) (x1)e x1，12则 n( x) xex0，12 m( x)在(0，ln 2)上单调递增， m( x)m(0) 0，12 m(x)在(0，ln 2)上单调递增， m(x)m(ln 2)2ln 2， b2ln 2，又 b为整数，最小整数 b的值为 2.10
