1、1第 2 讲 圆锥曲线的综合问题A 组 小题提速练一、选择题1已知双曲线 1 与直线 y2 x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为x2a2 y2b2( )A(1， ) B(1， 5 5C( ，) D ，)5 5解析：双曲线的一条渐近线方程为 y x，则由题意得 2， e ba ba ca 1 (ba)2 1 4.5答案：C2(2018河南八市联考)已知点 M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y22 x 的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则| MQ| QF|的最小值是( )A. B372C. D252解析：抛物线的准线方程为 x ，依据抛物线的定义，得12|QM| QF| xQ3
2、| ，选 C.|xQ12| |3 12| 52答案：C3已知圆 C： x2 y26 x8 y210，抛物线 y28 x 的准线为 l，设抛物线上任意一点 P到直线 l 的距离为 m，则 m| PC|的最小值为( )A5 B. 41C. 2 D441解析：由题得，圆 C 的圆心坐标为(3，4)，抛物线的焦点为 F(2,0)根据抛物线的定义，得 m| PC| PF| PC| FC| .41答案：B4若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( )A1 B. 2C2 D2 22解析：设椭圆 C： 1( ab0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为x2a
3、2 y2b2椭圆短轴端点，所以 S 2cb bc1 .12 b2 c22 a22所以 a22.所以 a .2所以长轴长 2a2 ，故选 D.2答案：D5以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点已知|AB|4 ，| DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4C6 D8解析：设抛物线的方程为 y22 px(p0)，圆的方程为 x2 y2 r2.| AB|4 ，| DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2不妨设 A ， D .(4p， 22) ( p2， 5)点 A ， D 在圆 x2 y2 r2上，(4p， 22) (
4、p2， 5)Error! 8 5， p4(负值舍去)16p2 p24 C 的焦点到准线的距离为 4.答案：B6(2018赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)， F 是抛物线 y22 x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使| MF| MA|取得最小值的 M 的坐标为( )A(0,0) B.(12， 1)C(1， ) D(2,2)2解析：过 M 点作准线的垂线，垂足是 N，则| MF| MA| MN| MA|，当 A， M， N 三点共线时，| MF| MA|取得最小值，此时 M(2,2)答案：D7(2018湖南师大附中月考)设双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线与抛物线x2a2 y
5、2b2y2 x 的一个交点的横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( )A. B( ，)(1，62) 23C(1， ) D.2 (62， )解析：联立Error!消去 y 得 x2 x，由 x01 知 1，所以b2a2 b2a2 c2 a2a21b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两x2a2 y2b2点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29解析：因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线
6、AB 的方程为 y (x3)，代入椭12圆方程 1 消去 y，得( b2)x2 a2x a2 a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为x2a2 y2b2 a24 32 941，即 a22 b2，又 a2 b2 c2，所以 b c3，选择 D.32a22 a24 b2答案：D12若双曲线 1( a0， b0)的离心率 e ，点 A(0,1)与双曲线上的点的最小距离x2a2 y2b2 52是 ，则该双曲线的方程为( )2305A. y21 B. y21x22 x23C. y21 D. 1x24 x24 y22解析：由 c ，知 ，解得 a2 b，所以双曲线的方程为a2 b2ca a2 b2a 52
7、 1，即为 x24 y24 b2.设 B(x， y)是双曲线上任意一点，故| AB|2 x2( y1)x24b2 y2b224 b24 y2( y1) 25 24 b2 ，当 y 时，| AB|取得最小值 ，(y15) 45 15 4b2 45 2305解得 b1，所以该双曲线的方程为 y21.x24答案：C二、填空题13若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 1，5则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知Error!Error! b2 a2 c23.椭圆方程为 1 或 1.x24 y23 x23 y24答案： 1 或 1x24 y23 x23 y2414双曲线 1
8、( a0， b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为x2a2 y2b2该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.解析：双曲线 1 的渐近线方程为 y x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，x2a2 y2b2 ba由双曲线的对称性可得 1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c2 ，所以ba 2a2 b2 c2(2 )2，解得 a2.2答案：215已知直线 l： y kx t 与圆： x2( y1) 21 相切，且与抛物线 C： x24 y 交于不同的两点 M， N，则实数 t 的取值范围是_解析：因为直线 l 与圆相切，所以 1 k2 t
9、22 t.再把直线 l 的方程代入抛物线|t 1|1 k2方程并整理得 x24 kx4 t0，于是由 16 k216 t16( t22 t)16 t0，得 t0 或t0 或 t0， b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点x2a2 y2b2P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_解析：设直线方程为 y (x c)，ba由Error! ，得 x ，a2 c22c由 2 a， e ，a2 c22c ca解得 e2 (e2 舍去)3 3答案：2 3B 组 大题规范练1已知动点 M 到定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 .2(1)求动点 M 的轨迹 C 的
10、方程；6(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交曲线 C 于不同于 N 的两点 A， B，直线NA， NB 的斜率分别为 k1， k2，求 k1 k2的值解析：(1)由椭圆的定义，可知点 M 的轨迹是以 F1， F2为焦点，4 为长轴长的椭圆2由 c2， a2 ，得 b2.2故动点 M 的轨迹 C 的方程为 1.x28 y24(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y2 k(x1)，由Error! 得(12 k2)x24 k(k2) x2 k28 k0. 4 k(k2) 24(12 k2)(2k28 k)0，则 k0 或 kb0)的离心率为 ，左焦点为 F(1,0)，过点
11、D(0,2)且斜x2a2 y2b2 22率为 k 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)在 y 轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，求出 E 点的坐标和这个定值；AE BE 若不存在，说明理由解析：(1)由已知可得Error!解得 a22， b21，所以椭圆 C 的标准方程为 y21.x22(2)设过点 D(0,2)且斜率为 k 的直线 l 的方程为 y kx2，由Error! 消去 y 整理得(12 k2)x28 kx60，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8k1 2k2 61 2k2又 y1y2( kx
12、12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4 .2k2 42k2 17y1 y2( kx12)( kx22) k(x1 x2)4 .42k2 1设存在点 E(0， m)，则 ( x1， m y1)，AE ( x2， m y2)，BE 所以 x1x2 m2 m(y1 y2) y1y2 m2 m AE BE 62k2 1 42k2 1 2k2 42k2 1. 2m2 2 k2 m2 4m 102k2 1要使得 t(t 为常数)，AE BE 只需 t，从而(2 m222 t)k2 m24 m10 t0， 2m2 2 k2 m2 4m 102k2 1即Error! 解得 m ，从而 t ，
13、114 10516故存在定点 E ，使 恒为定值 .(0，114) AE BE 105163已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P 在椭圆 C 上， O 为坐x2a2 y2b2 (1， 32)标原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且 AOB 为锐角，求直线 l的斜率 k 的取值范围解析：(1)由题意，得 c1，所以 a2 b21.因为点 P 在椭圆 C 上，(1，32)所以 1，所以 a24， b23.1a2 94b2则椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)设直线 l 的方程为 y
14、kx2，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(4 k23) x216 kx40.因为 48(4 k21)0，所以 k2 ，14由根与系数的关系，得 x1 x2 ， x1x2 . 16k4k2 3 44k2 3因为 AOB 为锐角，所以 0，即 x1x2 y1y20.OA OB 8所以 x1x2( kx12)( kx22)0，即(1 k2)x1x22 k(x1 x2)40，所以(1 k2) 2 k 40，44k2 3 16k4k2 3即 0， 12k2 164k2 3所以 k20 恒成立x1,2 ， 2k2 4k 2 2k2 4k 2 2 4 1 k2 k2 4k 42 1 k2x1 x2 ， x1x2 .2k2 4k 21 k2 k2 4k 41 k2要使 OA OB，必须使 0，即 x1x2 y1y20，OA OB 也就是 k2(x11)( x21)0.k2 4k 41 k2整理得：(1 k2) k2 k20.k2 4k 41 k2 2k2 4k 21 k2解得 k1，所以直线 l 的方程为 y x1.故存在直线 x1 和 y x1，它们与圆 C 交于 A， B 两点，使得在平行四边形 OASB 中| |.OS OA OB
