1、第17讲 坐标系与参数方程,总纲目录,考点一 极坐标方程,1.直角坐标与极坐标的互化 设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和 (,),则,2.圆的极坐标方程 若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的极坐标方程为2-20cos(-0)+ -r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为r时:=r; (2)当圆心为M(a,0),半径为a时:=2acos ; (3)当圆心为M ,半径为a时:=2asin .,3.直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0),且极轴与此直线所成的角为,则此直线的极 坐标方程为sin(-)=0sin(0-). 几个特殊位置的直
2、线的极坐标方程: (1)直线过极点:=0和=+0; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos =a; (3)直线过M 且平行于极轴:sin =b.,例 (2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为 cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求 点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大 值.,解析 (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10). 由题设知|OP|=,|OM|=1= . 由|
3、OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S= |OA|Bsin AOB =4cos =2 2+ .,当=- 时,S取得最大值2+ . 所以OAB面积的最大值为2+ .,方法归纳 直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直 接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形, 构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边 同乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对
4、方程进 行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.,(2018南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程 为 (为参数),直线C2的方程为y= x,以O为极点, 以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程; (2)若直线C2与曲线C1交于P,Q两点,求|OP|OQ|的值.,解析 (1)曲线C1的普通方程为(x- )2+(y-2)2=4, 即x2+y2-2 x-4y+3=0, 则曲线C1的极坐标方程为2-2 cos -4sin +3=0. 直线C2的方程为y= x, 直线C2的极坐标方程为= (R). (2)设P(1,1),Q(2,
5、2), 将= (R)代入2-2 cos -4sin +3=0得,2-5+3=0, 12=3,|OP|OQ|=12=3.,考点二 参数方程,几种常见的参数方程 (1)圆 以O(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是 其中 是参数. 当圆心为(0,0)时,方程为 其中是参数. (2)椭圆 椭圆 + =1(ab0)的参数方程是 其中是参数. 椭圆 + =1(ab0)的参数方程是 其中是参数.,(3)直线 经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是 其 中t是参数.,例 (2018课标全国,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,O的 参数方程为 (为参数),过点(0,- )且倾斜角为的直
6、线l 与O交于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,解析 (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当= 时,l与O交于两点. 当 时,记tan =k,则l的方程为y=kx- .因为l与O交于两点, 所以 1,即 或 . 综上,的取值范围是 . (2)l的参数方程为. 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,即tP= ,且tA,tB满足t2-2 tsin +1=0. 于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是.,方法归纳,参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用 (1)将参数方程化为普通方程
7、的过程就是消去参数的过程,常用的 消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要 对参数方程进行变形,为消去参数创造条件. (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题 的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代 入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.,(2018洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,mR),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2= (0). (1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离
8、为2 ,求 m的值.,解析 (1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x- y+m=0. 由曲线C2的极坐标方程得32-22cos2=3,0, 曲线C2的直角坐标方程为 +y2=1(0y1). (2)设曲线C2上任意一点P的坐标为( cos ,sin ),0, 则点P到曲线C1的距离d= = . 0,cos ,2cos -2, , 当m0时,由点P到曲线C1的最小距离为2 得,=2 ,解得m=6(舍负); 当m0时, =2 ,解得m=-4- . 综上,m=6或m=-4- .,考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用,例 (2018洛阳尖子生第一次联考)在平面直角坐标系xOy中,直
9、线 l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2= ,且 直线l经过曲线C的左焦点F. (1)求直线l的普通方程; (2)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.,解析 (1)由2= ,即2+2sin2 =4, 将2=x2+y2,sin =y代入上式并化简得 + =1, 所以曲线C的直角坐标方程为 + =1, 于是c2=a2-b2=2,F(- ,0). 由题意知直线l的普通方程为x-y=m,因为直线l经过曲线C的左焦 点F,所以- -0=m,解得m=- , 所以直线l的普通方程为x-y+ =0. (2)设椭圆C的内接矩形在第一象限
10、的顶点为(2cos , sin ),所以椭圆C的内接矩形的周长为L=2(4cos +2 sin ),=4 sin(+)(其中tan = ), 所以椭圆C的内接矩形的周长L的最大值为4 .,方法归纳,解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点 (1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,可以先 化成普通方程或直角坐标方程,这样思路可能更加清晰. (2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简捷. (3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐 含条件.,(2018唐山五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极 轴为x轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同.
11、已知圆C1的极坐 标方程为=4(cos +sin ),P是C1上一动点,点Q在射线OP上且满 足|OQ|= |OP|,点Q的轨迹为C2. (1)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程; (2)已知直线l的参数方程为 (t为参数,0),l与曲 线C2有且只有一个公共点,求的值.,解析 (1)设点P,Q的极坐标分别为(0,),(,),则 = 0= 4(cos +sin )=2(cos +sin ), 点Q的轨迹C2的极坐标方程为=2(cos +sin ), 两边同乘,得2=2(cos +sin ), 所以C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得 (tcos +1)2+(tsin -1)2=2,即t2+2(cos -sin )t=0, 解得t1=0,t2=2(sin -cos ), 由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,得sin -cos =0,因为0,所以= .,
