1、第9讲 空间几何体的三视图、表面积与体积,总纲目录,考点一 空间几何体的三视图,一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧 (左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽 度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.,1.图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的 几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视 图如图2所示,则可以作为其正视图的是 ( ),答案 C 由直观图和俯视图知,正视图中点D1的射影是B1,所 以正视图是选项C中的图形.A中少了虚线,故不正确.,2.(201
2、8课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起 来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的 小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ),答案 A 本题考查空间几何体的三视图. 两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的 木构件,易知俯视图可以为A.故选A.,3.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧 面中,直角三角形的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、 面的位置关系. 由三视图得四棱锥的直观
3、图如图所示.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由 SD底面ABCD,AD,DC,AB底面ABCD,得SDAD,SDDC,SD,AB.SDC,SDA为直角三角形.又ABAD,ABSD,AD, SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD.又SA平面SAD, ABSA,即SAB也是直角三角形,从而SB= =3. 又BC= = ,SC=2 ,BC2+SC2SB2.SBC不是直角三 角形.故选C.,三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平 齐、宽相等”,另外,在将三视图还原为直观图时,借助于正方体 或长方体能使问题变得具体、直观、简单.,方法技巧,方法归纳,由三
4、视图还原直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特 征,调整实线和虚线所对应的棱的位置. (3)确定几何体的直观图形状.,考点二 空间几何体的表面积与体积,1.柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高); (2)S锥侧= ch(c为底面周长,h为斜高); (3)S台侧= (c+c)h(c,c分别为上、下底面的周长,h为斜高).,2.柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高); (2)V锥体= Sh(S为底面面积,h为高); (3)V台= (S+ +S)h(S,S分别为
5、上、下底面面积,h为高)(不要求 记忆).,3.球的表面积和体积公式 (1)S球表=4R2(R为球的半径); (2)V球= R3(R为球的半径).,命题角度一 空间几何体的表面积,例1 (1)(2017课标全国,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其 中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的 边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干 个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A.10 B.12 C.14 D.16,(2)(2018课标全国,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成 角的余弦值为 ,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5,则该圆锥的
6、侧面积为 .,答案 (1)B (2)40 ,解析 由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构 成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2 =12.故选B. (2)因为母线SA与圆锥底面所成的角为45,所以圆锥的轴截面为 等腰直角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l= r.在SAB 中,cosASB= ,所以sinASB= .因为SAB的面积为5 ,即,SASBsinASB= r r =5 ,所以r2=40.故圆锥的侧 面积为rl= r2=40 .,疑难突破 利用底面半径与母线的关系,以及SAB的面积值 求出底面
7、半径是解题的突破口.,例2 (1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D 为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为 ( ) A.3 B. C.1 D. (2)(2018福建福州质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实 线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( ),命题角度二 空间几何体的体积,A.+6 B. +6 C. +6 D. +2,答案 (1)C (2)C,解析 (1)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AD平面B1DC1. = AD = 2 =1.故选C. (2)由三视图可知,该几何体是由直四棱柱与半圆锥组成,因为V直四,棱柱= (1+
8、2)22=6,V半圆锥= = ,所以该几何体的体 积为V=V直四棱柱+V半圆锥=6+ ,故选C.,方法归纳,求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法. (2)求不规则几何体的体积:常用分割或补形的思想,将不规则几 何体转化为规则几何体. (3)求表面积:关键思想是空间问题平面化.,1.(2016课标全国,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相 等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ( )A.17 B.18 C.20 D.28,答案 A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去 后剩下 的部分.设球的半径为R,则该几何体的体
9、积为 R3,即 = R3,解得R=2.故其表面积为 422+3 22=17.选A.,2.(2018河南开封定位考)某几何体的三视图如图所示,其中俯视 图为扇形,则该几何体的体积为 ( )A.4 B.2 C. D.,答案 B 由题意知,该几何体的直观图如图所示,该几何体为 圆柱的一部分.设底面扇形的圆心角为,由tan = = ,得= . 故底面面积为 22= ,该几何体的体积为 3=2.,3.(2018湖北八校联考)九章算术中,将底面是直角三角形的 直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”,将底面为 矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.已知某“堑 堵”与某“阳马”组合而成的几
10、何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为 ( ),A. B. C. D.,答案 A 由三视图知,该几何体的左侧为“堑堵”,其底面是 直角边长分别为 ,1的直角三角形,高为1;右侧为“阳马”,一条 长为 的侧棱垂直于底面,且底面是边长为1的正方形,如图所示, 所以该几何体的体积V= 1 1+ 11= .故选A.,考点三 多面体与球的切、接问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要 认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关 系,并作出合适的截面图.,例 (2018课标全国,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的 球面上四点,ABC为等边三角形且其面积
11、为9 ,则三棱锥D- ABC体积的最大值为 ( ) A.12 B.18 C.24 D.54,答案 B,解析 设ABC的边长为a,则SABC= aasin 60=9 ,解得a=6 (负值舍去).ABC的外接圆半径r满足2r= ,得r=2 ,球心到 平面ABC的距离为 =2.所以点D到平面ABC的最大距 离为2+4=6.所以三棱锥D-ABC体积的最大值为 9 6=18 . 故选B.,方法归纳,多面体与球接、切问题的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的 特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问 题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内
12、接、外切的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(或 直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.,1.(2018福建福州质检)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为 , 一个侧面的周长为6 ,则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积 为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32,答案 C 如图所示,设底面边长为a,则底面面积为 a2= . 所以a= .又一个侧面的周长为6 ,所以AA1=2 .设E,D分别为 上、下底面的中心,连接DE,设DE的中点为O,则点O即为正三棱 柱ABC-A1B1C1的外接球的球心,连接OA1,A1E,则OE= ,A1E= =1.在RtOEA1中,OA1= =2,即外接球的半径R=2. 所以外接球的表面积S=4R2=16.故选C.,2.已知三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,BC=CD=1,AB= ,则该三棱锥外接球的体积为 .,答案,解析 因为BC=1,CD=1,BCCD,所以BD= . 又AB= ,且AB平面BCD, 所以AD=2,ABCD.所以CD平面ABC.所以CDAC. 所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为AD的中点,且半径为1.所以 三棱锥A-BCD的外接球的体积为 .,
