1、专题一 三角函数和平面向量 第1讲 三角函数的化简与求值,第1讲 三角函数的化简与求值 1.已知 ,若sin = ,则sin = .,答案,解析 由题意可得cos = , 所以sin = sin = + = .,2.计算 = .,答案,解析 = = .,3.若2sin -3cos =- ,2cos -3sin =- ,则sin(+)= .,答案,解析 两式平方相加得13-12sin cos -12cos sin = , 则12sin(+)=13- = ,sin(+)= .,4.设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos = .,答案 -,解析 f(x)=sin x-
2、2cos x= sin(x-),cos = ,sin = ,当= +2k+,kZ 时,函数取得最大值, 此时cos =cos =-sin =- .,5.已知锐角,满足(tan -1)(tan -1)=2,则+的值为 .,答案,解析 由题意可得-(tan +tan )=1-tan tan ,则tan(+)= =-1,又 , ,则+(0,),所以+= .,题型一 三角函数定义与三角函数的化简与求值的综合问题,例1 (2018高考数学模拟)如图,在直角坐标系xOy中,角的顶点是原点,始边 与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且 .将角的终边按逆时针 方向旋转 ,交单位圆于点B,记A(x1,y1),
3、B(x2,y2).,(1)若x1= ,求x2; (2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D,记AOC的面积为S1,BOD的面 积为S2,若S1=2S2,求角的值.,解析 (1)由三角函数定义知,x1=cos ,x2=cos ,因为 ,cos = , 所以sin = = , 所以x2=cos = cos - sin = . (2)依题意,y1=sin ,y2=sin ,所以 S1= x1y1= cos sin = sin 2,S2= |x2|y2 = sin =- sin ,依题意,sin 2=-2sin ,化简得 cos 2=0,因为 ,则 2,所以2= ,即= .,【方法归纳】 (1)
4、角的终边上一个异于原点的点P(x,y),且|OP|=r= , 可利用三角函数定义将点P的坐标与角的三角函数建立联系,若已知点P的 坐标,可利用公式sin = ,cos = ,tan = 求角的三角函数值;若已知角,可 利用公式x=rcos ,y=rsin 求点P的坐标;(2)三角函数的给值求角问题,在求出 角的三角函数值后,结合角的范围求解,必要时需要根据题意缩小角的范围.,1-1 在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C均在单位圆上,已知点A在第一象限 内,且其横坐标是 ,点B在第二象限内,点C(1,0). (1)设COA=,求sin 2的值; (2)若AOB为正三角形,求点B的坐标.,题型二
5、 给定三角函数值,对三角函数式进行化简与求值,例2 (2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan = ,cos(+)=- . (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值.,解析 (1)因为tan = = ,所以sin = cos . 因为sin2+cos2=1,所以cos2= , 因此,cos 2=2cos2-1=- . (2)因为,为锐角,所以+(0,). 又因为cos(+)=- , 所以sin(+)= = , 因此,tan(+)=-2.,因为tan = ,所以tan 2= =- , 因此,tan(-)=tan2-(+)= =- .,【方法归纳】 解决三角函数的给值求角问题的关
6、键是角的变换和三角公 式的选择,对于角的变换,若已知角与所求角之间有2倍的关系,则利用二倍角 公式求解,在此过程中,要注意同角三角函数的基本关系式sin2+cos2=1与tan = 的应用;若已知角与所求角之间是和或差的形式,则先用已知角和特 殊角表示所求角,再确定选用的三角公式.,2-1 (2018江苏如东高级中学高三期中)已知,都是锐角,且sin = ,tan(-) =- . (1)求sin(-)的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为, ,所以- - . 又因为tan(-)=- 0,所以- -0. 利用同角三角函数的基本关系式可得sin2(+)+cos2(+)=1,且 =- ,
7、解得sin(-)=- . (2)由(1)可得cos(-)= = = . 因为为锐角,sin = ,所以cos = = = .,所以cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)= + =.,题型三 已知三角恒等式的三角函数式的化简与求值,例3 已知sin(2+)=3sin ,设tan =x,tan =y,记y=f(x). (1)求f(x)的解析式; (2)若角是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.,解析 (1)解法一:注意角的变换:2+=(+)+,=(+)-. 由sin(2+)=3sin , 得sin(+)+=3sin(+)-, 则sin(+)cos +cos(
8、+)sin =3sin(+)cos -3cos(+)sin , 所以sin(+)cos =2cos(+)sin , 所以tan(+)=2tan , 即 =2tan ,即 =2x,所以y= ,即f(x)= . 解法二:直接展开,利用“1”的变换. 因为sin(2+)=sin 2cos +cos 2sin =3sin , 所以2sin cos cos +(cos2-sin2)sin =3sin , 所以 + tan =3tan , 所以 + tan =3tan , 即 + y=3y,所以y= ,即f(x)= . (2)因为角是一个三角形的最小内角, 所以0 ,所以0x . 又f(x)= = ,设g
9、(x)=2x+ (0x ), 则g(x)=2x+ 2 , 故函数f(x)的值域为 .,【方法归纳】 已知三角恒等式的三角函数式的化简与求值,常用所求角表 示已知角,即对已知恒等式中的角进行变换,使其与所求角建立联系,同时要 注意同角三角函数基本关系式在解题中的应用.,3-1 若sin =3sin(2-),则2tan(-)+tan = .,答案 0,解析 由sin =3sin(2-)得sin-(-)=3sin+(-),则sin cos(-)-cos sin (-)=3sin cos(-)+cos sin(-),化简得sin cos(-)=-2cos sin(-),则 tan =-2tan(-),所以2tan(-)+tan =0.,
