1、第4讲 解三角形,第4讲 解三角形 1.已知a,b,c是锐角ABC中A,B,C的对边,若a=3,b=4,ABC的面积为3 ,则c= .,答案,解析 S= absin C=6sin C=3 ,sin C= .又ABC是锐角三角形,则C=,cos C= .由余弦定理可得c2=9+16-234 =13,即c= .,2.(2018江苏南京期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b-c= a, 2sin B=3sin C,则cos A的值为 .,答案 -,解析 由正弦定理及2sin B=3sin C,可得b= c,代入b-c= a,得a=2c,由余弦定 理得cos A= =- .,3
2、.(2018江苏苏州期中)设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为AB的中 点,若b=acos C+csin A且CD= ,则ABC面积的最大值是 .,答案 +1,解析 b=acos C+csin A,由正弦定理可得sin B=sin Acos C+sin Csin A,则sin(A +C)=sin Acos C+sin Csin A,所以cos Asin C=sin Csin A.C(0,),sin C0, tan A=1.又A(0,),A= .在ACD中,由余弦定理可得2=b2+ c2-2b bc- bc,bc =4+2 ,当且仅当b=c时取等号,则ABC面积的 最大值是 bc
3、sin A= (4+2 ) = +1.,4.设a,b,c依次是ABC的角A,B,C所对的边,若 =1 007tan C,且a2+b2=mc2,则m= .,答案 2 015,解析 由 =1 007tan C,得 = = = =1 007,cos C= .又cos C= , 1 007c2= , a2+b2=2 015c2,m=2 015.,题型一 正、余弦定理的应用,例1 (2018江苏扬州调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知cos A=- ,b= ,c= . (1)求a; (2)求cos(B-A)的值.,解析 (1)在ABC中,因为cos A=- ,b= ,c= ,所以
4、a2=b2+c2-2bccos A=2+5-2 =9. 因为a为边长,所以a0,所以a=3. (2)在ABC中,cos A=- ,所以A , 所以sin A= = = . 又 = ,即 = ,所以sin B= . 又A ,所以B ,所以cos B= = = . 所以cos(B-A)=cos Bcos A+sin Bsin A= + = .,【方法归纳】 (1)正、余弦定理在三角形边角互化中具有重要应用,注意正 弦定理的变形在解题中的应用,如a=2Rsin A,sin B= (其中R是ABC外接圆 的半径),abc=sin Asin Bsin C等; (2)常见题型:已知两角和一边,如已知A,B
5、和c,由A+B+C=求出C,由正弦定 理求出a,b;已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求 出c,再用正弦定理求较短边所对的角,然后利用A+B+C=求出另一角;已知 两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求出B,由A+B+C=求 出C,再由正弦定理或余弦定理求出c,要注意解可能有多种情况;已知三边a,b,c,可用余弦定理求出A,B,C.,1-1 (2018苏锡常镇四市调研)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,b,c.若cos A= ,sin C= . (1)求tan B; (2)若a2+b2=7,求c的值.,解析 (1)在ABC中,由cos A=
6、 , 得sin A= = = . 又sin C= ,所以sin Csin A,所以CA,所以C为锐角. 于是cos C= = = , 所以tan A= =2 ,tan C= = , 所以tan B=-tan(A+C)=- =- = .,(2)由 = ,sin2B+cos2B=1,得sin B= .由 = ,得 = = =.又a2+b2=7,解得 所以c2=a2+b2-2abcos C=7-4 =3,所以c= .,题型二 三角函数与解三角形,例2 (2018江苏海安高级中学月考)已知函数f(x)=2sin cos x. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)设ABC的角A,B,C的对
7、边分别为a,b,c,且c=2 , f(C)= ,若sin B=2sin A,求 a,b的值.,解析 (1)f(x)=2sin cos x =2 cos x= sin xcos x-cos2x = sin 2x- =sin - , 当且仅当x= +k,kZ时, f(x)max= ,最小正周期T= =.,(2)f(C)=sin - = ,即sin =1,因为0C,所以- 2C- ,于 是2C- = ,即C= .因为sin B=2sin A,所以由正弦定理得b=2a.由余弦定理得c2 =a2+b2-2abcos ,即a2+b2-ab=12.联立 解得,【方法归纳】 解题步骤:(1)利用三角公式将解析
8、式化为标准型;(2)结合三 角函数的图象研究三角函数的性质;(3)利用正弦定理、余弦定理实现边角互 化.,2-1 (2018江苏泰州中学月考)已知f(x)= sin -cos x. (1)求f(x)在0,上的最小值; (2)已知a,b,c分别为ABC中角A,B,C的对边,b=5 ,cos A= ,且f(B)=1,求边a 的长.,解析 (1)f(x)= -cos x= sin x+ cos x=sin , 0x, x+ , x+ = ,即x=时, f(x)min=- . (2)x+ =2k+ ,kZ时, f(x)有最大值1, B是三角形内角,B= ,sin B= . cos A= ,sin A=
9、 .又 = ,b=5 ,a=8.,题型三 平面向量与解三角形,例3 (2018江苏盐城模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为边BC 上的中线. (1)若a=4,b=2,AD=1,求边c的长; (2)若 =c2,求角B的大小.,解析 (1)在ADC中,因为AD=1,AC=2,DC= BC=2,所以由余弦定理,得cos C= = = .,故在ABC中,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=42+22-242 =6,所以c= . (2)因为AD为边BC上的中线,所以 = ( + ),所以 c2= = ( + )= + = c2+ cbcos A,得c=bcos A.
10、 则c=b ,得b2=c2+a2,所以B=90.,【方法归纳】 平面向量与解三角形的综合问题大致有两种类型:一是向量 的线性运算、数量积运算与解三角形的综合,如本例,利用向量的线性运算法 则、数量积的定义进行向量运算,得到边角混有的恒等式,再利用余弦定理、 正弦定理进行边角统一;二是向量的坐标运算与解三角形的综合问题,利用向 量共线定理的坐标表示、数量积的坐标运算将向量转化为三角函数,再利用 三角公式、正弦定理、余弦定理等求解.,3-1 (2018江苏南京模拟)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2 cos x),x R.设f(x)=mn. (1)求函数f(
11、x)的单调递增区间; (2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若f(A)=1,a=2 ,c=2,求ABC的 面积.,解析 (1)f(x)=cos2x-sin x(sin x-2 cos x) =cos2x-sin2x+2 sin xcos x= sin 2x+cos 2x =2 =2sin , 令2k- 2x+ 2k+ ,kZ,则k- xk+ ,kZ, 所以函数f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (2)2sin =1,因为0A,所以 2A+ , 即2A+ = ,故A= ,sin A= .,由正弦定理,得 = ,所以sin C= = = . 又0C ,所以C= ,所以B= , 所以SABC= 2 2=2 .,
