1、1限时检测提速练(十)小题考法空间几何体的三视图、表面积与体积及空间位置关系的判定1若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面 平行的棱有( )A0 条 B1 条C2 条 D0 条或 2 条解析：选 C 因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面 平行的棱有 2 条，故选 C2(2018济南一模)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 为 BD1的中点，则 PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A BC D解析：选 B P 点在上下底面投影落在 AC 或 A1C1上，所以 PAC 在上底面或下底面的投影为，在前面、后面
2、以及左面，右面的投影为，选 B3(2018浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A2 B4C6 D8解析：选 C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角梯形的长、下底边长分别为 2,1，高为 2，该几何体的体积为 V26.故选 C12 2 1 24(2018泉州模拟)设四棱锥 PABCD 的底面不是平行四边形， 用平面 去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 ( )A有无数多个 B恰有 4 个C只有 1 个 D不存在2解析：选 A 如图，由题知面 PAD 与面 PBC 相交，面 PAB 与
3、面 PCD 相交，可设两组相交平面的交线分别为 m， n，由 m， n 决定的平面为 ，作 与 平行且与四条侧棱相交，交点分别为 A1， B1， C1， D1，则由面面平行的性质定理得 A1B1 n C1D1， A1D1 m B1C1，从而得截面必为平行四边形由于平面 可以上下平移，可知满足条件的平面 有无数多个故选 A5(2018蚌埠模拟)我国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米 250 斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为 5 丈 4 尺，则谷堆的高为多少？(注：1 斛1.62 立方尺， 取
4、 3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径为( )A5 尺 B9 尺C10.6 尺 D21.2 尺解析：选 C 设谷堆的高为 h，底面半径为 r，则 2 r54， r9.粟米 250 斛， 则体积为 2501.62 9 2h， h5. 谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为 R. 13则 R2( h R)2 r2.解得 R10.6. 故选 C6(2018武汉一模)某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为 的等腰直角2三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为 1 的正方形，则该四棱锥的高为( )A B122C D2 3解析：选 A 几何体是如图放置的四棱锥 PABCD，是正方体
5、中切除一个三棱柱，再切除一个三棱锥所得到的几何体，该正方体的棱长为 1，高为 P 到平面 ABCD 的距离，此距离3为 ，故选 A227(2018河南联考)在三棱锥 SABC 中，SB BC， SA AC， SB BC， SA AC， AB SC，且三棱锥 SABC 的体积为 ，则该三棱锥12 932的外接球半径是( )A1 B2C3 D4解析：选 C 取 SC 中点 O，则 OA OB OC OS, 即 O 为三棱锥的外接球球心，设半径为 r，则 2r r2 . r3，选 C13 34 9328(2018曲靖一模)如图，在一个上底无盖的圆台形容器上放置一个球体，已知圆台上、下底面半径分别为
6、1 cm,2 cm，母线长 cm，球的最低点距圆台下底面 1.5 cm，则球5的表面积为( )A cm2 B cm254 254C cm2 D9 cm 22516解析：选 B 易求上底面圆心至球最低点距离为 ，则 21 r2，得12 (r 12)r ， S4 r2 ，故选 B54 2549(2018中原名校联考)已知 A， B， C， D 是球 O 表面上四点，点 E 为 BC 的中点，若AE BC， DE BC， AED120， AE DE ， BC2，则球 O 的表面积为( )3A B73 283C4 D164解析：选 B 由题意可知 ABC 与 BCD 都是边长为 2 的正三角形，如图，
7、过 ABC 与 BCD 的中心 M， N 分别作所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心 O，在 Rt OME 中， MEO 60， ME ，所以 OE2 ME ，所以球 O 的半径 R OB 33 233 OE2 BE2 ，所以球 O 的表面积为 S4 R2 . 故选 B(233)2 12 213 28310(2018齐鲁名校联考)一个封闭透明塑料制成的正方体容器内装有容器容积一半的水，将容器的一条棱或一个顶点放在水平桌面上，在任意转动容器的过程中，与桌面平行的水面的形状不可能是以下哪几种非正方形的矩形 非正方形的菱形 正三角形 正六边形 梯形A BC D解析：选 D 在正方体 ABCDA1B1
8、C1D1中，设棱长为 a，则体积最大的三棱锥 A1ABC 的体积为 ， ，则溶液表面不可能是三角形溶液表面是菱形，矩形和正六边形时，a36 a36 a32其体积均不小于 ，故选 Da3211(2018绵阳三模)如图 1，四棱锥 PABCD 中， PD底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图 2 所示，则 AD 的长是_解析：根据俯视图可知 BD2， CD4， BC2 ，所以三角形 BCD 为直角三角形， 且3 CDB 为 60，由于 AB CD，所以 ABD CDB60， 所以 AD BDsin 60 3答案： 312 (2018烟台二模)如图所示，在四面体 ABCD
9、中，若截面 PQMN 是正方形，则下列命题中正确的是_(填序号) AC BD； AC截面 PQMN； AC BD；异面直线 PM 与 BD 所成的角为 455解析：因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQ MN， QM PN PQ平面 ACD， QM平面 BDA， PQ AC， QM BD PQ QM， AC BD，正确； PQ AC， AC截面 PQMN，正确； PN BD，异面直线 PM 与 BD 所成的角为 NPM45， 正确答案：13(2018广东二模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析：由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为 1，母线长为
10、3)和一个半径为 1 的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S223 236612答案：6614某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_6解析：由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为 3,4)，高为 6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为 2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积 V 3462 2432012 13答案：2015(2018广东二模)在四面体 ABCD 中， AB AC2 ， BC6， AD底面 ABC，3DBC 的面积是 6，若该四面体的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是_解析： 四面体 A
11、BCD 与球 O 的位置关系如图所示，设 E 为 BC 的中点， O1为 ABC 外接球的圆心，因为 AB AC2 ， BC6，3由余弦定理可得 BAC ，23由正弦定理可得 2AO1 4 ， AO12 ，632 3 3由勾股定理可得 AE ，3又 S DBC DEBC6，12 DE2， AD 1，DE2 AE2 4 3在四边形 OO1AD 中，OO1 AD， OO1A90， OA OD，计算可得 R2 OA2(2 )2 2 ，3 (12) 494则球 O 的表面积是 4 49494答案：4916已知正三棱锥 SABC，底面是边长为 3 的正三角形 ABC， SA2 ，点 E 是线段 AB37的中点，过点 E 作三棱锥 SABC 外接球 O 的截面，则截面面积的最小值是_解析：记 ABC 的中心为 M，则球心 O 在直线 SM 上，SM 3SA2 AM2 12 3设外接球 O 的半径为 R，在 Rt OAM 中， AO2( SM SO)2 AM2，即 R2(3 R)23，解得 R2过点 E 作三棱锥 SABC 外接球 O 的截面，要使截面面积最小当且仅当截面与 OE 垂直时在 Rt OME 中， OE2 OM2 ME21 ，34 74设截面圆的半径为 r，则 r AO2 OE24 74 32截面面积为 r2 94答案：948
