1、1课时跟踪检测（二十） 小题考法不等式A 组107 提速练一、选择题1在 R 上定义运算： xy x(1 y)若不等式( x a)(x b)0 的解集是(2,3)，则 a b( )A1 B2C4 D8解析：选 C 由题知( x a)(x b)( x a)1( x b)0，即( x a)x( b1)0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程( x a)x( b1)0 的两根之和等于 5，即 a b15，故 a b4.2已知正数 a， b 的等比中项是 2，且 m b ， n a ，则 m n 的最小值是( )1a 1bA3 B4C5 D6解析：选 C 由正数 a， b 的等比中项是 2，可得
2、ab4，又 m b ， n a ，所以1a 1bm n a b a b (a b) 2 5，当且仅当 a b2 时等号成立，1a 1b a bab 54 54 ab故 m n 的最小值为 5.3设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z x2 y 的最大值为( )A5 B6C. D7132解析：选 C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线 z x2 y 经过直线 x y1 与 x y4 的交点，即 时， z 取得最大值， zmax 2 ，故选 C.(32， 52) 32 52 1324(2017全国卷)设 x， y 满足约束条件Error!则 z x y
3、 的取值范围是( )A3,0 B3,2C0,2 D0,3解析：选 B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l0： y x，平移直线 l0，当直线 z x y 过点 A(2,0)时， z 取得最大值 2，当直线 z x y 过点 B(0,3)时， z 取得最小值3，所以z x y 的取值范围是3,25(2017全国卷)设 x， y 满足约束条件Error!则 z2 x y 的最2小值是( )A15 B9C1 D9解析：选 A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示易求得可行域的顶点 A(0，1)， B(6，3)， C(6，3)，当直线 z2 x y 过点B(6，3)时， z
4、 取得最小值， zmin2(6)315.6设不等式组Error!所表示的区域面积为 S.若 S1，则 m 的取值范围为( )A(，2 B2,0C(0,2 D2，)解析：选 A 如图，当 x y1 与 y mx 交点为(1,2)时，不等式组所表示的区域面积为 1，此时 m2，若 S1，则 m2，故选 A.7已知实数 x， y 满足Error!若 z x2 y 的最小值为4，则实数 a( )A1 B2C4 D8解析：选 B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线 z x2 y 经过点 C 时， z 取得最小值4，所以( a，a 53 ) a2 4，解得 a2，故选 B.a 538(
5、2019 届高三浙江六校协作体联考)已知函数 f(x) ax3 bx2 x(a0， b0)在13 12x1 处取得极小值，则 的最小值为( )1a 4bA4 B5C9 D103解析：选 C 由 f(x) ax3 bx2 x(a0， b0)，得 f( x) ax2 bx1，则 f(1)13 12 a b10， a b1， (a b)5 52 9，当且1a 4b (1a 4b) ba 4ab ba4ab仅当 ，即 a ， b 时，等号成立，故选 C.ba 4ab 13 239(2017衢州二中交流卷)若实数 x， y 满足| x| y|1( x表示不超过 x 的最大整数)，则 的取值范围是( )x
6、 y 4x 2A. B.(43， 3 (43， 52C. D.(32， 52 (32， 3解析：选 A 因为| x|1| y|1，所以1 x1，再根据 x的具体值进行分类：当 x1，即1 x1 时，若要 f(x)x2 ( 12) 4716恒成立，结合图象，只需 x a，即 a.又 2，当且仅当 ，即|x2 a| 2x x2 x2 2x x2 2x x2 2xx2 时等号成立，所以 a2.综上， a 的取值范围是 .4716， 2法二：关于 x 的不等式 f(x) 在 R 上恒成立等价于 f(x) a f(x)，|x2 a| x2即 f(x) a f(x) 在 R 上恒成立，x2 x2令 g(x
7、) f(x) .x2当 x1 时， g(x)( x2 x3) x2 3x2 x2 2 ，(x14) 4716当 x 时， g(x)max ；14 4716当 x1 时， g(x) 2 ，(x2x) x2 (3x2 2x) 3当且仅当 ，且 x1，即 x 时， “”成立，3x2 2x 233故 g(x)max2 .3综上， g(x)max .4716令 h(x) f(x) ，x2当 x1 时， h(x) x2 x3 x2 3x2 3x2 2 ，(x34) 3916当 x 时， h(x)min ；34 3916当 x1 时， h(x) x 2，2x x2 x2 2x当且仅当 ，且 x1，即 x2
8、时， “”成立，x2 2x故 h(x)min2.综上， h(x)min2.5故 a 的取值范围为 .4716， 2二、填空题11若两个正实数 x， y 满足 1，且不等式 x x 4，1x 4y 4xy 4xy xy y4 xy故 m23 m4，化简得( m1)( m4)0，解得 m4，即实数 m 的取值范围为(，1)(4，)答案：(，1)(4，)12设函数 f(x)Error!则不等式 f(x)f(1)的解集是_解析：由题意得， f(1)3，所以 f(x)f(1)，即 f(x)3.当 x3，解得33，解得 x3 或 0 x3y0 或 x0， b0)的最大值为 6，则7 的最小值为( )1a
9、2bA1 B3C2 D4解析：选 B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示 a0， b0，当直线 z ax by 经过点(2,4)时， z 取得最大值 6，2 a4 b6，即 a2 b3. (a2 b) 3，当且仅当 a b1 时等号成立， 1a 2b (1a 2b) 13 53 2b3a 2a3b 1a的最小值为 3.故选 B.2b3设不等式组Error!所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为 an(nN *)，若 m 对于任意的正整数恒成立，则1a1a2 1a2a3 1anan 1实数 m 的取值范围是( )A. B.19， ) (1
10、9， )C. D.( ，19 ( ， 19)解析：选 A 不等式组Error!表示的平面区域为直线 x0， y0， y nx3 n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为 1 的整点有 2n 个，横坐标为 2 的整点有 n 个，所以 an3 n，所以 ，所以1anan 1 13n 3n 3 19(1n 1n 1) ，数列1a1a2 1a2a3 1anan 1 19(1 12 12 13 1n 1n 1) 19(1 1n 1)为单调递增数列，故当 n 趋近于无穷大时， 趋近于 ，所以 m .故19(1 1n 1) 19(1 1n 1) 19 19选 A.4设二次函数 f(x) ax2 b
11、x c 的导函数为 f( x)若 xR，不等式 f(x) f( x)恒成立，则 的最大值为( )b2a2 2c2A. 2 B. 26 6C2 2 D2 22 2解析：选 B 由题意得 f( x)2 ax b，由 f(x) f( x)在 R 上恒成立，得ax2( b2 a)x c b0 在 R 上恒成立，则 a0 且 0，可得 b24 ac4 a2，则8 ，又 4ac4 a20，4 40， 10，令b2a2 2c2 4ac 4a2a2 2c24(ca 1)2(ca)2 1 ca cat 1，则 t0.当 t0 时， 2ca b2a2 2c2 4t2t2 4t 3 42t 3t 4 426 4 6
12、，当 t0 时， 00 时，不等式组不能构成可行域当 m0 时，可行域为点 A(1,2)，不符合题意当 ，即3 m0 时，不等式组1m13构成的可行域是以 A(1,2)， B ， C 为顶点的三角形区域(3m 1m 1， 2m 1) (3 5mm 3， 6m 3)(含边界)，过点 C 时，目标函数 z3 x y 有最大值 ，由 15，得 m15 15mm 3 15 15mm 31.当 0 ，即 m3 时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函1m 13数 z3 x y 没有最大值综合得 m1.9此时，可行域是以 A(1,2)， B(2,1)， C(4,3)为顶点的三角形区域(含边界)而 zmin x y2,2 x yError!直线 x2 把可行域分成以 A(1,2)， B(2,1)， D为顶点的三角形区域，和以 B(2,1)， C(4,3)， D 为顶点的三角形区域故只要(2，73) (2， 73)求 z2 x y 在三角形 ABD 区域上的范围， z x y2 在三角形 BCD 区域上的范围即可当平行直线系 2x y z 在三角形 ABD 区域内运动时， z2 x y .4，193当平行直线系 x y2 z 在三角形 BCD 区域内运动时， z x y25,9从而有 zmin x y2,2 x y的取值范围是4,9答案：1 4,9
