1、1课时跟踪检测（十三） 小题考法直线与圆A 组107 提速练一、选择题1已知直线 l： y k(x )和圆 C： x2( y1) 21，若直线 l 与圆 C 相切，则 k( )3A0 B. 3C. 或 0 D. 或 033 3解析：选 D 因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C(0,1)到直线 l 的距离 d1，解得 k 0 或 k ，故选 D.| 1 3k|k2 1 2 32(2018宁波十校高三 5 月适应性考试)已知直线 l 过圆( x1) 2( y2) 21 的圆心，当原点到直线 l 距离最大时，直线 l 的方程为( )A y2 B x2 y50C x2 y30 D x2 y50解
2、析：选 D 设圆心为 M，则 M(1,2)当 l 与 OM 垂直时，原点到 l 的距离最大作出示意图如图， kOM2， l 的斜率为 .12直线 l 的方程为 y2 (x1)，即 x2 y50.123直线 l： y kx1 与圆 O： x2 y21 相交于 A， B 两点，则“ k1”是“|AB| ”的( )2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 依题意，注意到| AB| 等价于圆心 O 到直线 l 的距离2 |OA|2 |OB|2等于 ，即有 ， k1.因此， “k1” 是“| AB| ”的充分不必要22 1k2 1 2 22 2条件4若三条直线
3、l1：4 x y3， l2： mx y0， l3： x my2 不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A2 个 B3 个 C4 个 D6 个解析：选 C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点若 l1 l2，则 m4；若 l1 l3，则 m ；若 l2 l3，则 m 的值不存在；若三条直142线相交于同一点，则 m1 或 .故实数 m 的取值最多有 4 个，故选 C.535(2018温州模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)， B(2,0)，过 A 的直线交 x 轴于点 C(a,0)，若直线 AC 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的 2 倍，则 a(
4、 )A. B.14 34C1 D.43解析：选 B 设直线 AC 的倾斜角为 ，直线 AB 的倾斜角为 ，即有 tan tan 2 .2tan 1 tan2又 tan ，tan ，1a 12所以 ，解得 a .1a2121 14 346与直线 x y20 和曲线 x2 y212 x12 y540 都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A( x2) 2( y2) 22B( x2) 2( y2) 22C( x2) 2( y2) 22D( x2) 2( y2) 22解析：选 D 由题意知，曲线方程为( x6) 2( y6) 2(3 )2，过圆心(6,6)作直线2x y20 的垂线，垂线方程为 y x
5、，则所求的最小圆的圆心必在直线 y x 上，又圆心(6,6)到直线 x y20 的距离 d 5 ，故最小圆的半径为 ，|6 6 2|2 2 52 322 2圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为( x2) 2( y2) 22.7(2018长沙模拟)若直线(2 1) x( 2) y 20( R)被圆 C：( x1)2 y24 所截得的弦为 MN，则| MN|的最小值是( )A. B22C2 D42解析：选 C 直线方程(2 1) x( 2) y 20( R)可化为 (2x y1)( x2 y2)0( R)，若Error!则Error!所以直线恒过圆 C：( x1) 2 y24 内的定点 P
6、(0，1)，当直线(2 1) x( 2) y 20( R)与直线 CP 垂直时，| MN|最小，此时| MN|2 2 2 .故选 C.r2 |CP|2 4 2 2 28(2018合肥质检)设圆 x2 y22 x2 y20 的圆心为 C，直线 l 过(0,3)且与圆3C 交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方程为( )3A3 x4 y120 或 4x3 y90B3 x4 y120 或 x0C4 x3 y90 或 x0D3 x4 y120 或 4x3 y90解析：选 B 由题可知，圆心 C(1,1)，半径 r2.当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x0，计算出弦长为 2 ，符
7、合题意；当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为3y kx3，由弦长为 2 可知，圆心到该直线的距离为 1，从而有 1，解得3|k 2|k2 1k ，所以直线 l 的方程为 y x3，即 3x4 y120.34 34综上，直线 l 的方程为 x0 或 3x4 y120，故选 B.9两个圆 C1： x2 y22 ax a240( aR)与 C2： x2 y22 by1 b20( bR)恰有三条公切线，则 a b 的最小值为( )A3 B32 2C6 D6解析：选 B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆 C1：( x a)2 y24，圆 C2： x2( y b)21，所以
8、 C1( a,0)， C2(0， b)， 213，即 a2 b29.|C1C2| a2 b2由 2 ，得( a b)218，所以3 a b3 ，当且仅当“ a b”时(a b2 ) a2 b22 2 2等号成立所以 a b 的最小值为3 .210若圆( x3) 2( y5) 2 r2上有且只有两个点到直线 4x3 y20 的距离等于1，则半径 r 的取值范围是( )A(4,6) B4,6C(4,5) D(4,5解析：选 A 设直线 4x3 y m0 与直线 4x3 y20 之间的距离为 1，则有1， m3 或 m7.圆心(3，5)到直线 4x3 y30 的距离等于 6，圆心|m 2|5(3，5
9、)到直线 4x3 y70 的距离等于 4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选 A.二、填空题11直线 l： x y 23 0( R)恒过定点_， P(1，1)到直线 l 的距离的最大值为_解析：直线 l： x y 23 0( R)，即 (y3) x20，令Error!解得Error! 直线 l 恒过定点(2,3)不妨记 Q(2,3)，则 P(1,1)到直线 l 的距离的最大值4为| PQ| . 3 2 22 13答案：(2,3) 1312若直线 l1： y x a 和直线 l2： y x b 将圆( x1) 2( y2) 28 分成长度相等的四段弧，则 a2 b2_.解析：由题意得直线
10、 l1和 l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为 90，因此圆心到两直线的距离均为 r2，即 2，得 a2 b2(2 1) 2(1222 |1 2 a|2 |1 2 b|2 2)218.2答案：1813已知点 M(2,1)及圆 x2 y24，则过 M 点的圆的切线方程为_，若直线ax y40 与该圆相交于 A， B 两点，且| AB|2 ，则 a_.3解析：若过点 M 的圆的切线斜率不存在，则切线方程为 x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为 y k(x2)1，由圆心到直线的距离等于半径得2，解得 k ，故切线方程为 y (x2)1，即 3x4 y100.综上，| 2k 1|k2 1
11、 34 34过 M 点的圆的切线方程为 x2 或 3x4 y100.由 ，得 a .4a2 1 4 3 15答案： x2 或 3x4 y100 1514已知 C 的方程为 x22 x y20，直线 l： kx y x2 k0 与 C 交于 A， B 两点，当| AB|取最大值时， k_；当 ABC 的面积最大时， k_.解析：圆的方程可化为( x1) 2 y21，圆心 C(1,0)，半径为 1，当直线过圆心时，弦 AB 为直径，| AB|最大，此时 k1.设 ACB ，则 S ABC 11sin sin 12 12 ，当 90时， ABC 的面积最大，此时圆心到直线的距离为 ，由 d22 ，解
12、得 k0 或 k6.|1 k| k 1 2 1 22答案：1 0 或 615已知圆 O： x2 y2 r2与圆 C：( x2) 2 y2 r2(r0)在第一象限的一个公共点为P，过点 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点 A， B(异于 P 点)，且 OA OB，则直线 OP 的斜率是_， r_.解析：两圆的方程相减得，4 x40，则点 P 的横坐标 x1.易知 P 为 AB 的中点，因为 OA OB，所以| OP| AP| PB|，所以 OAP 为等边三角形，所以 APO60，因为AB x 轴，所以 POC60，所以直线 OP 的斜率为 .设 P(1， y1)，则 y1 ，所以3
13、3P(1， )，代入圆 O，解得 r2.35答案： 2316(2018浦江模拟)设 A 是直线 y x4 上一点， P，Q 是圆 C： x2( y2) 217 上不同的两点，若圆心 C 是 APQ 的重心则 APQ 面积的最大值为_解析：如图，圆心 C 是 APQ 的重心， AC PQ，设 C 到 PQ 的距离为 x，则 PQ2 ，17 x2则 A 到 PQ 的距离为 3x， S PAQ 2 3x12 17 x23 x3 .17 x217 x2 x22 512当且仅当 x，即 x 时等号成立17 x2342 APQ 面积的最大值为 .512答案：51217定义：若平面点集 A 中的任一个点(
14、x0， y0)，总存在正实数 r，使得集合( x， y)|0；( x， y)|x y|6；( x， y)|00)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点，且有| | | |，那么 k 的取值范围是( )OA OB 33 AB A( ，) B ，)3 2C ，2 ) D ，2 )2 2 3 2解析：选 C 当| | | |时， O， A， B 三点为等腰三角形 AOB 的三个顶OA OB 33 AB 点，其中 OA OB2， AOB120，从而圆心 O 到直线 x y k0( k0)的距离为 1，即1，解得 k ；当 k 时，| | | |，又直线与圆 x2 y24 有两个
15、|k|2 2 2 OA OB 33 AB 不同的交点，故 0)设条件 p：01，即 01，即 r3 时，直线与圆相交，此时圆上有 4 个点到直线的距离为 1.综上，当 0r3 时，圆 C 上至多有 2 个点到直线 x y30 的距离为 1；由圆 C 上3至多有 2 个点到直线 x y30 的距离为 1 可得 0r3.故 p 是 q 的充要条件，故选 C.34已知圆 C： x2 y22 x4 y10 的圆心在直线 ax by10 上，则 ab 的取值范7围是( )A. B.( ，14 ( ， 18C. D.(0，14 (0， 18解析：选 B 把圆的方程化为标准方程得，( x1) 2( y2)
16、24，圆心坐标为(1,2)，根据题意可知，圆心在直线 ax by10 上，把圆心坐标代入直线方程得， a2 b10，即 a12 b，则 ab(12 b)b2 b2 b2 2 ，当 b 时，(b14) 18 18 14ab 有最大值 ，故 ab 的取值范围为 .18 ( ， 185已知点 A(3,0)，若圆 C：( x t)2( y2 t4) 21 上存在点 P，使| PA|2| PO|，其中 O 为坐标原点，则圆心 C 的横坐标 t 的取值范围为_解析：设点 P(x， y)，因为| PA|2| PO|，所以 2 ，化简得 x 3 2 y2 x2 y2(x1) 2 y24，所以点 P 在以 M(
17、1,0)为圆心，2 为半径的圆上由题意知，点 P(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 M 有公共点，则 1| CM|3，即 1 3 ，开方得 15 t214 t179.不等式 5t214 t160 的解 t 1 2 2t 4 2集为R；由 5t214 t80，得 t2.所以圆心 C 的横坐标 t 的取值范围为 .45 45， 2答案： 45， 26设点 M(x0,1)，若在圆 O： x2 y21 上存在点 N，使得 OMN45，则 x0的取值范围是_解析：由题意可知 M 在直线 y1 上运动，设直线 y1 与圆x2 y21 相切于点 P(0,1)当 x00 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(1，0)符合要求；当 x00 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有 OMN OMP，故要存在 OMN45，只需 OMP45.特别地，当 OMP45时，有 x01.结合图形可知，符合条件的 x0的取值范围为1,1答案：1,11
