1、1第 1讲 三角函数图象与性质A组 小题提速练一、选择题1已知函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( )( x3)A关于点 对称(3， 0)B关于直线 x 对称4C关于点 对称(4， 0)D关于直线 x 对称3解析：由函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期为 得 2，( x3)由 2x k( kZ)得， x k (kZ)，当 k1 时， x ，所以函数的图象关于3 12 6 3点 对称，故选 A.(3， 0)答案：A2为了得到函数 f(x)sin 2 xcos 2 x的图象，可以将函数 g(x) cos 2x的图象( )2A向右平移 个单位长度12B向右平移 个单
2、位长度8C向左平移 个单位长度12D向左平移 个单位长度8解析：因为 f(x)sin 2 xcos 2 x sin2 (2x4) sin 2 ，2 (x8)所以把 g(x) cos 2x sin sin 2 的图象向右平移 个单位长度2 2 (2x2) 2 (x 4) 8可以得到 f(x)sin 2 xcos 2 x的图象，故选 B.答案：B3将函数 f(x)sin 的图象向左平移 个单位长度，所得的图象(2x6) (0 2)2关于 y轴对称，则 ( )A. B.6 4C. D.3 2解析：将函数 f(x)sin 的图象向左平移 个单位长度，得到的图(2x6) (0 2)象所对应的函数解析式为
3、 ysin sin ，由题知，该函数是2 x 6 (2x 2 6)偶函数，则 2 k ， kZ，又 0 ，所以 ，选项 A正确6 2 2 6答案：A4(2018呼和浩特调研)如图是函数 f(x)sin 2x和函数 g(x)的部分图象，则 g(x)的图象可能是由 f(x)的图象( )A向右平移 个单位得到的23B向右平移 个单位得到的3C向右平移 个单位得到的712D向右平移 个单位得到的6解析：由题意可得，在函数 f(x)sin 2x的图象上，( ， y)关于对称轴 x 对称的点8 4为( ， y)，而 ，故 g(x)的图象可能是由 f(x)的图象向右平移 个单位得38 1724 38 3 3
4、到的答案：B5将函数 y cos xsin x(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图3象关于 y轴对称，则 m的最小值是( )A. B.12 6C. D.3 563解析： ysin x cos x2sin( x )，将其图象向左平移 m个单位后，得到的图象对33应的函数解析式为 y2sin( x m )，由题意得， m k， kZ，则3 3 2m k， kZ，故取 k0 时， mmin ，故选 B.6 6答案：B6(2018合肥模拟)要想得到函数 ysin 2 x1 的图象，只需将函数 ycos 2 x的图象( )A先向左平移 个单位长度，再向上平移 1个单位长度4B先向右
5、平移 个单位长度，再向上平移 1个单位长度4C先向左平移 个单位长度，再向下平移 1个单位长度2D先向右平移 个单位长度，再向下平移 1个单位长度2解析：先将函数 ycos 2x的图象向右平移 个单位长度，得到 ysin 2x的图象，再向4上平移 1个单位长度，即得 ysin 2 x1 的图象，故选 B.答案：B7(2018贵阳模拟)已知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0,0 )，其导数f( x)的图象如图所示，则 f( )的值为( )2A2 B.2 2C D22 24解析：依题意得 f( x) A cos(x )，结合函数 y f( x)的图象可知， T 4(2 )， 2.又 A
6、1，因此 A .因为 0 ， ，且38 8 12 34 34 74f( )cos( )1，所以 ， ， f(x) sin(2x )， f( )38 34 34 4 12 4 2 sin( ) ，故选 D.12 4 12 22 24答案：D48.函数 f(x)sin( x ) 的部分图象(x R， 0， | |2)如图所示，则函数 f(x)的解析式为( )A f(x)sin (2x4)B f(x)sin (2x3)C f(x)sin (4x4)D f(x)sin (4x4)解析：由题图可知，函数 f(x)的周期 T4 ，所以 2.又函数 f(x)的图(38 8)象经过点 ，所以 sin 1，则
7、2 k (kZ)，解得(8， 1) (4 ) 4 2 2 k (kZ)，又| | ，所以 ，即函数 f(x)sin .4 2 4 (2x 4)答案：A9已知 0,0 ，直线 x 和 x 是函数 f(x)sin( x )图象的两条相4 54邻的对称轴，则 ( )A. B.4 3C. D.2 34解析：依题意 ，故 T2，故 1；结合三角函数的图象可知，T2 k， kZ，故 k， kZ，因为 0 ，故 ，故选 A.4 2 4 4答案：A10设函数 f(x) sin xcos x， x0,2，若 0 a1，则方程 f(x) a的所有根3之和为( )A. B243C. D383解析： f(x)2sin
8、 ， x0,2， f(x)2,2，又 0 a1，方程 f(x)(x6)5 a有两根 x1， x2，由对称性得 ， x1 x2 ，故选 C.(x1 6) (x2 6)2 32 83答案：C11(2018西安质检)若函数 f(x)sin(2 x ) 的图象关于直线 x 对称，(| |2) 12且当 x1， x2 ， x1 x2时， f(x1) f(x2)，则 f(x1 x2)( )(6， 3)A. B.12 22C. D132解析：由题意得，2 k， kZ，12 2 k， kZ，| | ， ，3 2 3又 x1， x2 ，2 x1 (0，)，2 x2 (0，)，(6， 3) 3 3 ，2x1 3
9、2x2 32 2解得 x1 x2 ，6 f(x1 x2)sin ，故选 C.(26 3) 32答案：C12已知函数 f(x)sin x cos x ，如果存在实数 x1，使得对任意的实数 x，都有f(x1) f(x) f(x12 015)成立，则 的最小正值为( )A. B.12 015 2 015C. D.14 030 4 030解析：依题意得函数 f(x) sin 在 x x1处取得最小值，在 x x12 015处取2 ( x4)得最大值，因此 2 015，即 ( kZ)， 的最小正值为 ，故2 2k 12 2k 12 015 2 015选 B.答案：B二、填空题613已知函数 f(x)2
10、sin ( 0)的最小正周期为 ，则 f(x)的单调递增区间为( x6)_解析：由题意得 T ，2 2，即 f(x)2sin ，(2x6)由 2k 2 x 2 k (kZ)得 f(x)的单调递增区间为2 6 2(kZ)k 6， k 3答案： (kZ)k 6， k 314将函数 f(x) cos xsin x的图象向右平移 个单位后得到的图象关于直线 x3对称，则 的最小正值为_6解析：将函数 f(x)2cos 的图象向右平移 个单位后得到 f(x)(x6)2cos ，其图象关于直线 x 对称，则(x 6) 6 k， kZ， k， kZ，当 k0 时， 取得最小正值 .3 3 3答案：315设函
11、数 f(x)2sin( x )， xR，其中 0，| |.若f 2， f 0，且 f(x)的最小正周期大于 2，则 、 的值分别为_(58) (118 )解析： f 2， f 0，且 f(x)的最小正周期大于 2，(58) (118 ) f(x)的最小正周期为 4 3，(118 58) ， f(x)2sin .23 23 (23x )2sin 2，(2358 )得 2 k ， kZ.12又| |，取 k0，得 .127答案： 、23 1216函数 f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于|sin xcos 2x2 sin xcos2x|_解析：因为 f(x) |sin 3x|，最小正周期
12、 T |12sin xcos 2x 12sin 2xcos x| 12 12 23，所以图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 T .3 12 6答案：6B组 大题规范练1(2018临汾模拟)已知函数 f(x)sin 4xcos 4x sin 2xcos 2x.32(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x 时，求 f(x)的最值0，4解析：(1) f(x)sin 4xcos 4x sin 2xcos 2x32(sin 2xcos 2x)22sin 2x cos2x sin 4x341 sin22x sin 4x12 341 sin 4x12 1 cos 4x2 34 sin 4x cos 4x
13、34 14 34 sin .12 (4x 6) 34 T .24 2(2)当 x 时，0，44x ，sin ，则当 4x ，即 x 时，函数 f(x)取6 6， 76 (4x 6) 12， 1 6 2 12最大值 ；当 4x ，即 x 时，函数 f(x)取最小值 .所以，当 x 时，函54 6 76 4 12 0， 4数 f(x)的最大值是 ，最小值是 .54 1282已知函数 f(x)4tan xsin cos .(2 x) (x 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性4， 4解析：(1) f(x)4tan xsin cos (2 x) (x
14、3) 34sin x (12cos x 32sin x) 3sin 2 x (1cos 2 x)3 3sin 2 x cos 2x2sin .3 (2x3)定义域Error!，最小正周期 T .22(2) x ， 2 x ，设 t2 x ，4 4 56 3 6 3因为 ysin t在 t 时单调递减，在 t 时单调递增56， 2 2， 6由 2 x ，解得 x ，由 2 x ，解得 x ，56 3 2 4 12 2 3 6 12 4所以函数 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减12， 4 4， 12)3已知函数 f(x)sin( x ) 图象的相邻两对称轴之间的距( 0， 0 2)离为 ，且
15、在 x 时取得最大值 1.2 8(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x 时，若方程 f(x) a恰好有三个根，分别为 x1， x2， x3，求 x1 x2 x3的0，98 取值范围解析：(1) T 2，T2 2 2所以 sin sin 1，(28 ) (4 )所以 2 k ， kZ，4 2所以 2 k ， kZ，4因为 0 ，所以 ，2 49所以 f(x)sin .(2x4)(2)画出该函数的图象如图，当 a0，(2x23) 13且 0x1 x2 ，512 23易知( x1， f(x1)与( x2， f(x2)关于 x 对称，则 x1 x2 ，所以 cos(x1 x2)512 56cos x1 (56 x1)cos cos(2x156) (2x1 3) 2sin .(2x13) 1310
