1、1课时作业 13 变化率与导数、导数的计算基础达标一、选择题1函数 f(x)( x2 a)(x a)2的导数为( )A2( x2 a2) B2( x2 a2)C3( x2 a2) D3( x2 a2)解析： f(x)( x2 a)(x a)2 x33 a2x2 a3， f( x)3( x2 a2)答案：C22019衡水调研曲线 y1 在点(1，1)处的切线方程为( )2x 2A y2 x1 B y2 x1C y2 x3 D y2 x2解析： y1 ，2x 2 xx 2 y ， y| x1 2，x 2 x x 2 2 2 x 2 2曲线在点(1，1)处的切线斜率为 2，所求切线方程为 y12(
2、x1)，即 y2 x1.答案：A32019山西名校联考若函数 f(x)的导函数的图象关于 y轴对称，则 f(x)的解析式可能为( )A f(x)3cos x B f(x) x3 x2C f(x)12sin x D f(x)e x x解析：A 选项中， f( x)3sin x，其图象不关于 y轴对称，排除 A选项；B 选项中，f( x)3 x22 x，其图象的对称轴为 x ，排除 B选项；C 选项中， f( x)2cos x，13其图象关于 y轴对称；D 选项中， f( x)e x1，其图象不关于 y轴对称，排除 D选项答案：C42019郑州市质量检测曲线 f(x) x3 x3 在点 P处的切线
3、平行于直线y2 x1，则 P点的坐标为( )A(1,3) B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1，3)解析： f( x)3 x21，令 f( x)2，则 3x212，解得 x1 或 x1， P(1,3)或2(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线 y2 x1 上，故选 C.答案：C52019合肥市高三第一次质量检测已知直线 2x y10 与曲线 y aex x相切(其中 e为自然对数的底数)，则实数 a的值是( )A. B112C2 De解析：由题意知 y aex12，则 a0， xln a，代入曲线方程得 y1ln a，所以切线方程为 y(1ln a)2( xln a)，
4、即 y2 xln a12 x1 a1.答案：B62019福建福州八县联考已知函数 f(x)的导函数是 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1)ln ，则 f(1)( )1xAe B2C2 De解析：由已知得 f( x)2 f(1) ，令 x1 得 f(1)2 f(1)1，解得 f(1)1x1，则 f(1)2 f(1)2.答案：B72019湖南株洲模拟设函数 y xsinxcos x的图象在点( t， f(t)处的切线斜率为 g(t)，则函数 y g(t)图象的一部分可以是( )解析：由 y xsinxcos x可得 ysin x xcosxsin x xcosx.则 g(t) tcost，
5、g(t)是奇函数，排除选项 B，D；当 x 时， y0，排除选项 C.故选 A.(0，2)答案：A82019广州市高三调研考试已知直线 y kx2 与曲线 y xlnx相切，则实数 k的值为( )Aln2 B13C1ln2 D1ln2解析：由 y xlnx知 yln x1，设切点为( x0， x0lnx0)，则切线方程为y x0lnx0(ln x01)( x x0)，因为切线 y kx2 过定点(0，2)，所以2 x0lnx0(ln x01)(0 x0)，解得 x02，故 k1ln2，选 D.答案：D92019广东深圳模拟设函数 f(x) x b，若曲线 y f(x)在点( a， f(a)处的
6、1x切线经过坐标原点，则 ab( )A1 B0C1 D2解析：由题意可得， f(a) a b， f( x)1 ，所以 f( a)1 ，故切线1a 1x2 1a2方程是 y a b (x a)，将(0,0)代入得 a b ( a)，故1a (1 1a2) 1a (1 1a2)b ，故 ab2，故选 D.2a答案：D102019宝安，潮阳，桂城等八校第一次联考已知函数 f(x) x2的图象在点(x0， x )处的切线为 l，若 l也与函数 yln x， x(0,1)的图象相切，则 x0必满足( )20A01，所以 1ln2 x0 x ， x0(1，)令 g(x) x2ln2 x1， x1，)，则2
7、0g( x)2 x 0，所以 g(x)在1，)上单调递增，又 g(1)ln20，所以存在 x0( ， )，使得 g(x0)0，故 x02 3 3 2 3 2，选 D.3答案：D二、填空题112018全国卷曲线 y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为 y ， y| x1 2，2x4所以切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.答案： y2 x212过点 P(1,1)与函数 y 相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为_1x解析： y ， y ，1x 1x2 k1，切线方程 y1( x1)即 x y20，与 x轴交点为(2,0)，与 y轴交点为(0,2)， S 222.12答案：21
8、3已知直线 y x1 是函数 f(x) ex图象的切线，则实数 a_.1a解析：设切点为( x0， y0)，则 f( x0) ex01，1ae x0 a，又 ex0 x01， x02， ae 2.1a答案：e 2142019陕西省高三教学质量检测已知函数 f(x)2ln x和直线l：2 x y60，若点 P是函数 f(x)图象上的一点，则点 P到直线 l的距离的最小值为_解析：如图，在同一平面直角坐标系内分别作出函数 f(x)的大致图象以及直线 l，并平移直线 l使之与函数 f(x)的图象恰好相切于点 Q，由图易知，当且仅当点 P与点 Q重合时，点 P到直线 l的距离最短设点 Q(x0， y0
9、)，则由 f( x) ，可得 f( x0) 2，2x 2x0解得 x01，所以 y0 f(x0) f(1)0，所以 Q(1,0)，故点 Q到直线 l：2 x y60 的距5离为 ，即 .故点 P到直线 l的距离的最小值为 .85 855 855答案：855能力挑战152019安徽淮南模拟已知函数 f(x) x2ln x.(1)求函数 f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)在函数 f(x) x2ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理12， 1由解析：(1)由题意可得 f(1)1，且 f( x)2 x ， f(1)211，则所求切线方1x程为 y11( x1)，即 y x.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为( x1， y1)，( x2， y2)，则 x1， x2 ，12， 1不妨设 x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得 1，(2x11x1)(2x2 1x2)又函数 f( x)2 x 在区间 上单调递增，函数的值域为1,1，1x 12， 1故12 x1 2x2 1，1x1 1x2据此有Error!解得 x1 ， x21 ，12 (x1 1， x2 12舍 去 )故存在两点 ，(1,1)满足题意(12， ln2 14)6
