1、1单元质检四 三角函数、解三角形( B)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.为了得到函数 y=sin 的图象,只需把函数 y=sin x 的图象上所有的点( )(x+ 3)A.向左平行移动 个单位长度 3B.向右平行移动 个单位长度 3C.向上平行移动 个单位长度 3D.向下平行移动 个单位长度 3答案 A解析 由题意知,为得到函数 y=sin ,只需把函数 y=sinx 的图象上所有点向左平行移动 个单(x+ 3) 3位长度,故选 A.2.(2018 福建厦门适应性考试)已知 tan + =4,则 cos2 =( )1tan
2、 ( + 4)A. B. C. D.15 14 13 12答案 B解析 由 tan+ =4,得 =4,1tan sincos +cossin即 =4, sin cos= ,sin2 +cos2sin cos 14 cos2( + 4)=1+cos(2 + 2)2 =1-sin22= .1-2sin cos2 =1-2142 =143.将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)的图象 .若对满足(0a= 1,a+b+c 2.故 ABC 的周长的取值范围是(2,3 .6.已知 f(x)=Asin(x+ ) 满足 f(x)=-f ,对任意的 x 都有 f(x)(A0,
3、 0,| | 2) (x+ 2) f =2,则 g(x)=Acos(x+ )在区间 上的最大值为( )( 6) 0, 2A.4 B. C.1 D.-23答案 B解析 由 f(x)=-f ,知 f(x+) =-f =f(x),(x+ 2) (x+ 2)故 f(x)的周期为 .所以 =,解得 = 2.2由对任意的 x 都有 f(x) f =2 知,当 x= 时, f(x)取最大值,且最大值为 2.( 6) 6所以 += 2k + ,kZ,且 A=2, 3 2故 = 2k + ,kZ . 6又因为 | ,所以 = . 2 6所以 g(x)=2cos .(2x+ 6)因为 x ,所以 2x+ .0,
4、2 6 6,76由余弦函数的图象知 g(x)max=2cos ,故选 B. 6= 3二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)47.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30,并测得水平面上的 BCD=120,CD=40 m,则电视塔的高度为 m. 答案 40解析 如图,设电视塔 AB 高为 xm,则在 Rt ABC 中,由 ACB=45得 BC=x.在 Rt ADB 中, ADB=30,则 BD= x.3在 BDC 中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BCCDcos120,即( x)2
5、=x2+402-32x40cos120,解得 x=40,所以电视塔高为 40m.8.已知 ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点, BD=2,连接 CD,则 BDC 的面积是 ,cos BDC= . 答案152 104解析 如图,取 BC 中点 E,DC 中点 F,由题意知 AE BC,BF CD.在 Rt ABE 中,cos ABE= ,BEAB=14 cos DBC=- ,14sin DBC= .1-116= 154S BCD= BDBCsin DBC= .12 152 cos DBC=1-2sin2 DBF=- ,且 DBF 为锐角,14 sin DBF= .1
6、045在 Rt BDF 中,cos BDF=sin DBF= .104综上可得, BCD 的面积是 ,cos BDC= .152 104三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角 A 的大小;(2)若 ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sin Bsin C 的值 .3解 (1)由 cos2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cosA-2=0,即(2cos A-1)(cosA+2)=0,解得 cosA= (cosA=-2 舍去) .12因为 0A,所
7、以 A= . 3(2)由 S= bcsinA= bc=5 ,可得 bc=20.12 34 3由 b=5,解得 c=4.由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故 a= .21由正弦定理,得 sinBsinC= sinA sinA= sin2A= .ba ca bca2 202134=5710.(15 分)(2018 山东济南二模)在 ABC 中, AC=BC=2,AB=2 .3,AM=MC(1)求 BM 的长;(2)设 D 是平面 ABC 内一动点,且满足 BDM= ,求 BD+ MD 的取值范围 .23 12解 (1)在 ABC 中, AB2=AC2+BC2
8、-2ACBCcosC,代入数据得 cosC=- .12 ,CM=MA= AC=1.AM=MC12在 CBM 中,由余弦定理知, BM2=CM2+CB2-2CMCBcosC,代入数据得 BM= .7(2)设 DBM= ,则 DMB= - , . 3 (0, 3)6在 BDM 中,由正弦定理知.BDsin( 3- )= MDsin = BMsin23=273BD= sin ,MD= sin ,273 ( 3- ) 273BD+ MD= sin sin= cos- sin+ sin )= cos.12 273 ( 3- )+ 73 73( 3 7又 , cos ,(0, 3) (12,1)BD+ M
9、D 的取值范围为 .12 (72, 7)11.(15 分)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0, .3(1)若 ab,求 x 的值;(2)记 f(x)=ab,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 .解 (1)因为 a=(cosx,sinx),b=(3,- ),ab,3所以 - cosx=3sinx.3若 cosx=0,则 sinx=0,与 sin2x+cos2x=1 矛盾,故 cosx0 .于是 tanx=- .33又 x0,所以 x= .56(2)f(x)=ab=(cosx,sinx)(3,- )=3cosx- sinx3 3=2 cos .3 (x+ 6)因为 x0,所以 x+ , 6 6,76从而 -1cos .(x+ 6) 32于是,当 x+ ,即 x=0 时, f(x)取到最大值 3; 6= 6当 x+ =,即 x= 时, f(x)取到最小值 -2 . 6 56 37
