1、二轮专题突破,第一篇,专题八 函数与导数,第4讲 大题考法导数的综合应用,考向一 导数的简单应用问题,技法总结 求函数yf(x)在某个区间上极值的步骤,变式提升 1(2018玉溪模拟)已知函数f(x)xln x (1)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，讨论函数g(x)的单调性； (2)若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，求直线l的方程 解 (1)f(x)xln x， g(x)f(x)a(x1)xln xa(x1)， 则g(x)ln x1a， 由g(x)0，得ln x1a0，解得0xea1； 由g(x)0，得ln x1a0，解得xea1 g(x)在(0，ea1)上单调递减
2、，在(ea1，)上单调递增,(2)设切点坐标为(x0，y0)， 则y0x0ln x0，切线的斜率为ln x01， 切线l的方程为 yx0ln x0(ln x01)(xx0)， 又切线l过点(0，1)， 1x0ln x0(ln x01)(0x0)， 即1x0ln x0x0ln x0x0，解得x01，y00， 直线l的方程为yx1,【典例】 已知函数f(x)(xa)ex，其中e是自然对数的底数，aR (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a1时，试确定函数g(x)f(xa)x2的零点个数，并说明理由规范解答 (1)因为f(x)(xa)ex，xR， 所以f(x)(xa1)ex. 1分 令f(x)
3、0，得xa1. 2分,考向二 函数与导数的零点或方程的根的问题,(2)结论：当a1时，函数g(x)有且仅有一个零点 5分 理由如下：由g(x)f(xa)x20，得方程xexax2， 显然x0为此方程的一个实数解，所以x0是函数g(x)的一个零点. 6分 当x0时，方程可化简为exax.设函数F(x)exax， 7分 则F(x)exa1，令F(x)0，得xa，当x变化时，F(x)和F(x)的变化情况如下：8分,即F(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(，a). 9分 所以F(x)minF(a)1a. 10分 因为a1，所以F(x)minF(a)1a0， 所以对于任意xR，F(x)0，
4、11分 因此方程exax无实数解 所以当x0时，函数g(x)不存在零点 综上，函数g(x)有且仅有一个零点. 12分,对函数f(x)求导计算错而导致解题错误对于函数零点个数的判断，不会转化构造函数而无从下手在判断方程exax(x0)无零点时不会构造转化，利用单调性及最值做出判断,技法总结 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题 (2)分离出参数，转化为ag(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图函数零点的个数问题即是直线ya与函数yg(x)图象交点的个数问题只需要用a
5、与函数g(x)的极值和最值进行比较即可,变式提升 2(2018锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aR且a0) (1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在2,1上的最大值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围,【典例】 (2018河南联考)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1) (1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围,考向三 导数与不等式恒成立、存在性问题,技法总结 1利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法 (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的
6、函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围 (2)函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值(最值)； 第三步：构建不等式求解,2利用导数解决不等式存在性问题的策略 (1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题 (2)用导数求该函数在该区间上的最值 (3)构建不等式求解,考向四 导数与不等式的证明问题,技法总结 1利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形 (2)构造新的函数h(x) (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值 (4)根据单调性及最值，得到所证不等式,2构造辅助函数的4种方法,谢,谢,观,看,
