1、1第 2 讲 大题考法不等式选讲卷别 年份 考查内容 命题规律及备考策略2018绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题2017含绝对值的不等式的解法、求参数的取值范围全国卷2016 绝对值不等式的解法及图象2018绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题2017基本不等式的应用、一些常用的变形以及证明不等式的方法全国卷2016含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式2018 分段函数图象的画法与应用2017绝对值不等式的解法以及函数取值范围的求解全国卷2016 绝对值不等式解法不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的解法
2、，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.考向一 含绝对值的不等式的解法及应用【典例】 (2017全国卷)已知函数 f(x) x2 ax4，2g x |x 1| |x 1|.(1)当 a1 时，求不等式 的解集；f x g x(2)若 ，求 a 的取值范围不 等 式 f x g x 的 解 集 包 含 1， 1审题指导看到 g(x)| x1| x1|，想到零点分段讨论处理 g(x)看到 f(x) g(x)，想到分段讨论求解不等式看到条件 f(x) g(x)的解集包含1,1，想到 g(x)在 x1,1时，化简为 g(x)2，从而把问题简化规范解答 (1)当 a1 时，不等式 f(x) g(x)等
3、价于x2 x| x1| x1|40. 1 分当 x1 时，式化为 x23 x40 ，无解； 2 分当1 x1 时，式化为 x2 x20 ，从而1 x1； 3 分当 x1 时，式化为 x2 x40 ，从而 1 x . 4 分 1 172所以 f(x) g(x)的解集为. 5 分x| 1 x 1 172 (2)当 x1,1时， g(x)2 ，所以 f(x) g(x)的解集包含1,1，等价于当 x1,1时， f(x)2. 7 分又 f(x)在1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得1 a1. 9分所以 a 的取值范围为1,1. 10 分处易出现利用绝对值定义
4、去绝对值号时计算化简失误处易忽视x1,1， g(x)2，这是转化关键处不理解且不会判断 f(x)在1,1时最小值必为 f(1)， f(1)之一，而导致滞做失分技法总结1零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点；3(2)划区间，去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值2绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 a f(x)或 a f(x)形式；(2)转化最值： f(x)a 恒成立 f(x)mina； f(x)a 有解f(x)maxa； f(x)a 无解 f(x)max a； f(x)a 无解 f(
5、x)min a；(3)得结论变式提升1(2018永州二模)已知函数 f(x)| x2 a| x3|， g(x)| x2|3(1)解不等式| g(x)|6；(2)若对任意的 x2R，均存在 x1R，使得 g(x1) f(x2)成立，求实数 a 的取值范围解 (1)由| x2|3|6，得6| x2|36，9| x2|3，得不等式的解为1 x5(2)f(x)| x2 a| x3|( x2 a)( x3)|2 a3|，g(x)| x2|33，对任意的 x2R 均存在 x1R，使得 f(x2) g(x1)成立， y|y f(x)y|y g(x)，|2 a3|3，解得 a0 或 a3，即实数 a 的取值范
6、围为 a0 或 a3考向二 含绝对值的不等式的证明问题【典例】 (2016全国卷)已知函数 ， M 为不等式 f(x)2f x |x12| |x 12|4的解集(1)求 M；(2)证明：当 a， b M 时， |a b| |1 ab|审题指导看到函数解析式，想到分三种情况去绝对值号，想到分三种情况解不等式 f(x)2看到不等式两边的绝对值，想到利用平方寻求不等关系，想到利用分析法分析，综合法写步骤规范解答 (1)当 x 时， f(x) x x 2 x2，解得1 x ，112 12 12 12分当 x 时， f(x) x x 1 2 恒成立， 2 分12 12 12 12当 x 时， f(x)2
7、 x2 ，解得 x1， 312 12分综上可得， M x|1 x1. 4 分(2)当 a， b(1,1)时，有( a21)( b21)0 ， 6 分即 a2b21 a2 b2， 7 分则 a2b22 ab1 a22 ab b2， 8 分则( ab1) 2( a b)2， 9 分即| a b| ab1|. 10 分处易出现去绝对值符号错误，注意零点分区法的应用处若不能联想构造常用不等式而失误，注意分解变形方法的训练处未能利用两边同加构造而失分，注意不等式的性质的运用技法总结 不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明
8、， “平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少” “至多”等方式给出，则考虑用反证法(3)能转化为比较大小的可以用比较法(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法变式提升52(2018榆林二模)已知函数 f(x)| x a2| x2 a3|(1)证明： f(x)2；证明 因为 f(x)| x a2| x2 a3|x2 a3 x a2|，而| x2 a3 x a2| a22 a3|( a1) 222，所以 f(x)2(2)若 f 3，求实数 a 的取值范围(32)解 因为 f a2 |2 a |(32) 32 32Error!所以Error!
9、 或Error!解得1 a0，所以 a 的取值范围是(1,0)3(2018绵阳二模)已知 f(x)2| x2| x1|(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)设 m， n， p 为正实数，且 m n p f(2)，求证 mn np pm3(1)解 不等式 2|x2| x1|6 等价于不等式组Error!或Error!或Error!所以不等式 2|x2| x1|6 的解集为(1,3)(2)证明 因为 m n p3，所以( m n p)2 m2 n2 p22 mn2 mp2 np9，因为 m， n， p 为正实数，所以由基本不等式 m2 n22 mn(当且仅当 m n 时等号成立)，同理 m2 p22 mp， p2 n22 pn，所以 m2 n2 p2 mn mp np，所以( m n p)2 m2 n2 p22 mn2 mp2 np93 mn3 mp3 np，所以mn mp np36
