1、1第 2 讲 大题考法立体几何的综合问题考向一 平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题【典例】 (2017全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， ， AB BC12AD BAD ABC 90(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD 的面积为 2 ， 7求 四 棱 锥 PABCD的 体 积审题指导 看 到 AB BC 12AD， 想 到 取 AD的 中 点 看 到 四 边 形 ABCD中 ， BAD ABC 90， 想 到 BC AD 看 到 求 VPABCD， 想 到 体 积 公 式 ， 关 键 是 确 定 高 及 底 面 积规
2、范解答 (1)证明：在平面 ABCD 内，因为 BAD ABC90，所以 BC AD. 2 分又 BC平面 PAD， AD平面 PAD， 3 分故 BC平面 PAD.4 分(2)解：如图，取 AD 的中点 M，连接 PM， CM.由 AB BC AD 及 BC AD， ABC90，12得四边形 ABCM 为正方形，则 CM AD. 6 分2因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 PM AD， PM底面 ABCD. 8 分因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM. 9 分设 BC x，则 CM x， CD x，2PM x， PC PD2 x
3、3取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN CD，所以 PN x. 10 分142因为 PCD 的面积为 2 ，所以 x x2 ，712 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2于是 AB BC2， AD4， PM2 . 11 分3所以四棱锥 PABCD 的体积V 2 4 . 12 分13 2 2 42 3 3处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化处易忽视通过侧面 PAD底面 ABCD 可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高处易忽视如何表示 PCD 的面积，即以 CD 为底，高如何确定，导致思路不通
4、技法总结 位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型变式提升1(2018天水二模)在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD平面ABCD.AB CD PQ， AB AD， PAD 为正三角形， O 为 AD 中点，且3AD AB2， CD PQ1(1)求证：平面 POB平面 PAC；证明 由条件可知，Rt ADCRt BAO，故 DAC ABO DAC AOB ABO AOB90 AC BO PA PD，且 O 为 AD 中点， PO AD平面 PAD平面 ABCDError! PO平面 ABCD又 AC平面 ABCD， AC PO又 BO PO O， AC平面 POB AC平面 PAC，平面
5、 POB平面 PAC(2)求多面体 ABCDPQ 的体积解 取 AB 中点为 E，连接 CE， QE由(1)可知， PO平面 ABCD又 AB平面 ABCD， PO AB又 AB AD， PO AD O， AB平面 PAD VABCDPQ VPADQEC VQCEB S PAD|AE| S CEB|PO| 221 13 34 13(1212) 3433考向二 平面图形的翻折与探索性问题4【典例】 如图，在四边形 ABCD 中， AD CD2， AC2 ， ABC 是等边三角形，2F 为线段 AC 的中点将 ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图所示(1)
6、求证： AC BD；(2)试问：在线段 BC 上是否存在一点 E，使得 ？若存在，请求出点 E 的位置；VCDFEVCDBA 14若不存在，请说明理由(1)证明 AD CD2， AC2 ，2从而 AD2 CD2 AC2，故 AD CD， ADC 是等腰直角三角形又 F 为线段 AC 的中点，所以 DF AC连接 BF(图略)，因为 ABC 是等边三角形，所以 BF AC，又 DF BF F，故 AC平面 BDF又 BD平面 BDF，所以 AC BD(2)解 线段 BC 上存在点 E，使得 ，且 E 为线段 BC 的中点因为平面 ADCVCDFEVCDBA 14平面 ABC，平面 ADC平面 A
7、BC AC，且 DF AC，所以 DF平面 ABC，故 DF 为三棱锥DFCE 和 DABC 的高，所以 VCDFEVCDBA VDFCEVDABC S FCES ABC12CFCEsin ECF12CACBsin ACB CFCA CECB 14又 F 为线段 AC 的中点，所以 ，故 ，CFCA 12 CECB 12从而 E 为线段 BC 的中点，即当 E 为线段 BC 的中点时， VCDFEVCDBA 14技法总结51求解平面图形折叠问题的关键和方法(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)方法：把
8、平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决2求解探索性问题的类型及策略问题类型 求解策略对命题条件的探索(1)先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；(3)将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件对命题结论的探索(1)探索结论是什么，常从条件出发，探索出要求的结论是什么；(2)探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在变式提升2如图，平面五边形 ABCDE 中， AB CE，且 AE2， AEC
9、60，CD ED ，cos EDC .将 CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP ，得到四棱757 3锥 PABCE，如图(1)求证： AP平面 ABCE；(2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证： AB l证明 (1)在 CDE 中， CD ED ，cos EDC ，757由余弦定理得 CE2.连接 AC， AE2， AEC60，6 AC2.又 AP ，3在 PAE 中， PA2 AE2 PE2，即 AP AE同理， AP AC而 AC AE A， AC平面 ABCE，AE平面 ABCE，故 AP平面 ABCE(2) AB CE，且 CE平面 PCE， AB平面 PCE， AB平面 PCE.又平面 PAB平面 PCE l， AB l
