1、- 1 -锐角三角函数一课一练基础闯关题组一 锐角三角函数的求值1.(2017湖州中考)如图,已知在 RtABC 中,C=90,AB=5,BC=3,则 cosB 的值是 ( )A. B. C. D.35 45 34 43【解析】选 A.在 RtABC 中,BC=3,AB=5,cosB= = .B352.(2017怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,4),那么 sin 的值是 ( )世纪金榜导学号 18574005A. B. C. D.35 34 45 43【解析】选 C.作 ABx 轴于 B,如图,点 A 的坐标为(3,4),OB=3,AB=4,OA= =5,32+42-
2、 2 -在 RtAOB 中,sin= = .A453.(2017日照中考)在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=5,则 sinA 的值为 ( )A. B. C. D.513 1213 512 125【解析】选 B.在 RtABC 中,由勾股定理得,BC= =12,A22sinA= = .B12134.如图,在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=7,则 sinB=_. 世纪金榜导学号 18574006【解析】在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=7,sinB= = .A713答案:7135.(2017杭州模拟)如图,AD,BE 分别是ABC 中 BC,AC 边上的高
3、,BE=4,BC=6,则 sinDAC=_.世纪金榜导学号 18574007【解析】AD,BE 分别是ABC 中 BC,AC 边上的高,BEC=ADC=90,CBE=DAC,BEC=90,BE=4,BC=6,CE=2 ,5- 3 -sinEBC= ,53sinDAC= .53答案:536.如图所示,在ABC 中,C=90,D 是 AC 边上一点,且 AD=DB=10,CD=6,求 tanCBD 和 sinA.【解析】在 RtCDB 中,C=90,BC= = =8,D22 10262tanCBD= = .C34在 RtABC 中,C=90,AB= = =8 ,B2+2 82+162 5sinA=
4、 = = .B885 55题组二 锐角三角函数的应用1.(2017洪泽月考)在 RtABC 中,C=90,cosA= ,AC=6cm,那么 BC 等于35( )A.8cm B. cm C. cm D. cm245 185 65【解析】选 A.在 RtABC 中,C=90,cosA= = ,AC=6cm,A35AB=10cm,BC= =8cm.A222.在 RtABC 中,C=90,sinA= ,AC=6cm,则 BC 的长度为 世纪金榜导学号 18574008( )45A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm- 4 -【解析】选 C.sinA= = ,B45设 BC=4xcm,则 AB=
5、5xcm,又AC 2+BC2=AB2,6 2+(4x)2=(5x)2,解得:x=2 或 x=-2(舍去),则 BC=4x=8cm.3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等.小明将PB 拉到 PB的位置,测得PBC=(BC 为水平线),测角仪 BD 的高度为 1 米,则旗杆 PA 的高度为 ( )A. B.11 11+C. D.11 11+【解析】选 A.设 PA=PB=PB=x,在 RtPCB中,sin= ,P =sin,x= .x1 11经检验,x= 是方程 =sin 的解.11x14.(2017绥化中考)某楼梯的侧面如图所示,已测得
6、 BC 的长约为 3.5 米,BCA 约为 29,则该楼梯的高度 AB 可表示为 世纪金榜导学号 18574009( )A.3.5sin 29米 B.3.5cos 29米- 5 -C.3.5tan 29米 D. 米3.529【解析】选 A.在 RtABC 中,sinACB= ,AAB=BCsinACB=3.5sin29.5.(2017温州中考)如图,一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米,已知 cos= ,则小车上升的1213高度是 ( )A.5 米 B.6 米 C.6.5 米 D.12 米【解析】选 A.在直角三角形中,小车水平行驶的距离为 13cos=12 米,则由勾股定理得到其上升
7、的高度为 =5(米).1321226.如图,已知 RtABC 中,ACB=90,CD 是斜边 AB 上的中线,过点 A 作 AECD,AE 分别与 CD,CB 相交于点H,E,AH=2CH. 世纪金榜导学号 18574010(1)求 sinB 的值.(2)如果 CD= ,求 BE 的值.5【解析】(1)由题意知,CD=BD,B=DCB,DCB+ACD=90,ACD+CAE=90,DCB=CAE,B=DCB=CAE,在 RtACH 中,AH=2CH,AC= CH,sinB=sinCAE= = .5C55(2)CD= ,AB=2 ,5 5AC=2 sinB=2;BC= =4,5 A22- 6 -C
8、E=ACtanCAE=1;BE=BC-CE=3.如图 1,在ABC 中,设BAC,B,C 的对边分别为 a,b,c,过点 A 作 ADBC,垂足为 D,会有 sinC= ,则ASABC = BCAD= BCACsinC= absinC,即 SABC = absinC,同理 SABC = bcsinBAC,S ABC = acsinB,12 12 12 12 12 12通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理:如图 2,在ABC 中,若A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.用上
9、面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:如图 3,在DEF 中,F=60,D,E 的对边分别是 3 和 8,求 SDEF 和 DE2.【解析】在DEF 中,F=60,D,E 的对边分别是 3 和 8,EF=3,DF=8,S DEF = EFDFsinF12= 38sin60=6 ,12 3DE2=EF2+DF2-2EFDFcosF=32+82-238cos60=49.【母题变式】变式一(变换结论)如图 1,在ABC 中,设A,B,C 的对边分别为 a,b,c.求证: = = .abc【证明】如图,过点 A 作 ADBC,垂足为 D.由三角形的面积公式,得- 7 -SABC = BCAD= BCA
10、CsinC= absinC,12 12 12即 SABC = absinC,12同理 SABC = bcsinA,SABC = acsinB,12 12 absinC= bcsinA= acsinB,12 12 12即 absinC=bcsinA=acsinB, = = .abc变式二(变换条件、结论)如图,在ABC 中,已知 ACBC,ACB=60,ABC,BCA,ACB分别是以 AB,BC,AC 为边长的等边三角形,设ABC,ABC,BCA,ACB的面积分别为 S1,S2,S3,S4,求证:S1+S2=S3+S4.【证明】方法一:ACB=60,AB 2=AC2+BC2-2ACBCcos60
11、=AC2+BC2-ACBC,两边同时乘以 sin60得,12AB2sin60= AC2sin60+ BC2sin60-12 12 12- 8 -ACBCsin60,12ABC,BCA,ACB是等边三角形,S 1= ACBCsin60,S2= AB2sin60,12 12S3= BC2sin60,S4= AC2sin60,12 12S 2=S4+S3-S1,S 1+S2=S3+S4,方法二:令A,B,C 的对边分别为 a,b,c,S 1= absinC= absin60= ab.12 12 34ABC,BCA,ACB是等边三角形,S 2= ccsin60= c2,S3= aasin6012 34 12= a2,S4= bbsin60= b2,34 12 34S 1+S2= (ab+c2),S3+S4= (a2+b2),34 34c 2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos60,a 2+b2=c2+ab,S 1+S2=S3+S4.- 7 -
