1、第7讲 解三角形应用举例,考试要求 1.运用正弦定理、余弦定理解决简单的三角形度量问题(B级要求)；2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(B级要求).,知 识 梳 理,实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图1).,上方,下方,(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2). (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等. (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.,1.思考辨析(
2、在括号内打“”或“”)(1)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形.( ),诊 断 自 测,(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) 解析 (2)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1) (2) (3),2.(教材改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以计算出A，B两点的距离为_m.,3.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5 n mile，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观
3、察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_ n mile.,4.(2018苏北四市联考)一艘海轮从A处出发以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里.,5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_ m.,考点一 测量距离、高度问题,(1)求烟囱AB的高度； (2)如果要在CE间修一条直线，求CE的长.
4、解 (1)设AB的高度为h.在CAB中， 因为ACB45，所以CBh. 在OAB中，因为AOB30，AEB60，,故烟囱AB的高度为15 m.,所以在OCE中，,故CE的长为10 m.,规律方法 测量距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,【训练1】 (1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶
5、4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选 A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_ m.,解析 (1)如图，由题意，BAC30，ACB105，,B45，AC60 km，,(2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60，,考点二 测量角度问题,解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,CBA45，即B在C正东.CBD9030120，,即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.,
6、规律方法 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,【训练2】 甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值).解 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在ABC中，AC28t，BC20t，AB9
7、，ABC1801545120，,又ABC120，BAC为锐角， 所以45BAC，,考点三 函数思想在解三角形中的应用 角度1 距离的最值,【例31】 (2019镇江模拟)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.,(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；,在BDE中，由余弦定理得：,(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF， 在
8、直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos ，,角度2 面积的最值,【例32】 (2019苏州一模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一条对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC.,(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围； (2)求四边形ABCD面积的最大值.,解 (1)在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos A. 在CBD中，BD2CB2CD22CBCDcos C. 因为A和C互补，所以AB2AD22AB
9、ADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A， 即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A.,记g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5). 由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，,函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减， 因此g(x)的最大值为g(4)129108.,角度3 时间的最值,(1)试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式； (2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由. 解 (1)由题意，轮船航行的方向角为. 所以BAP90
10、，AB50，,所以由A经P到C所用时间与的函数解析式为,所以在BC上选择距离B为17.68 km处为登陆点，所用时间最少.,规律方法 解三角形应用问题的步骤与注意点： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等； (5)对于三角形应用问题中的最值问题.可建立函数模型，转化为函数的最值问题解决.,【训练3】 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？,解 设AOB，在AOB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB1222212cos 54cos ，,于是，四边形OACB的面积为,
