1、- 1 -芮城中学、运城中学 20182019 学年第一学期期末考试高二数学试题（理）(时间 120 分钟；满分 150 分） 2019.1一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.在一次数学测试中，成绩在区间125,150上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题 p是“甲测试成绩优秀”, 是“乙测试成绩优秀” ，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不q是优秀”可表示为（ ）.A()p.B()p.C()pq.Dpq2.抛物线 的焦点坐标是（ ）23xyA. B. C. D. )0,4()0,43( )12,0()12,0(3. 的一个必要不充分条件是（ ）253xA. B.
2、C. D. 161x02x23x4.已知双曲线 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）2:yCab5.A14yx.B13x.12yx.D2yx5.四面体 中， 分别是 的中点， 是 的三等分点（靠近 N） ，若O,MN,OAPMN， ， ，则 ( )abCc.A136.B163abcC2c D26. 点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为（ ）,P:20laxyd3 4 5 7.A.B.C.D- 2 -7.如图：在直棱柱 中， ，1ABC1ABC， 分别是 A1B1,BC,CC1的中点，则直,PQM线 PQ 与 AM 所成的角是（ ）A. 6.B4.C3.D28. 九章算术.商功：“今有堑
3、堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵” ， , , 是 的中点，过 的平面把该“堑4AB15AM1CBM堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（ ）40 .A.232950 CD09. 直线 过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆交于 两点， 为 的中点，l21xyF,PQMP为原点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线 的斜率为（ ）OFMAOl.3.B2.C1.D310 已知抛物线 的焦点为 F， 准线为 l，直线 m 过点 F，且与抛物线在第一、2(0)ypx四象限分别交于
4、 A,B 两点，过 A 点作 l 的垂线，垂足为 ，若 ，则 =（ ）A2pB3.pA2.B3.CD.11已知椭圆 的两个焦点分别是 ,短轴的两个端点分别为 ，左右顶C12(,0)(F,MN点分别为 ，若 为等腰直角三角形，点 在椭圆 上，且 斜率的取值范12,1MNT2A围是 ，那么 斜率的取值范围是（ ）,841A.A1,2.B1,24.C4,.D,A1 B CB1 C1M- 3 -12如图：已知双曲线 中， 为2(0,)xyab12,A左右顶点， 为右焦点， 为虚轴的上端点，若在线段FB上（不含端点）存在不同的两点 ,使得B()iP构成以 为斜边的直角三角形，则双曲12(,)iPA12A
5、线离心率 的取值范围是（ ）e.5(,)2.B(,).C(,).D15(,)2二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是 _.20,0oxRxmm14、已知 ，若 三向量共面，则实数 =_.(,13)(,2)(3,)abc,abc15、如图： 的二面角的棱上有 两点，直线 分别06ABCBD在这个二面角的两个半平面内且都垂直于 ，已知 =4，A=6， =8，则 =_.ACBD16、椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆 ，其长轴的长为 ，焦距为 ，若一C2ac条光线从椭圆
6、的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为 ，则椭圆 的离心率为5cC_.三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、 （10 分）已知命题 方程 表示双曲线；命题 ，:p214xyk:()1)0qxk若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。pq18、 （12 分）在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐xoy1C2x2221xy标轴原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求 ， 的极坐标方程C（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ,3C()4R23MN求 的面积2MN- 4 -19、（12 分）如图：直三棱柱 中，1ABC为棱 上的一
7、09,2,4,ACBD1动点，分别是 ， 的重心，,MN1AB（1）求证： （2）若点 在 上的射影正好为 ，求 与面 所成角的正弦值。CMNABD20、 （12 分）设抛物线 ，点 ，过点 作直线 ，2:4xy(1,0)Pl（1）若 与 只有一个公共点，求 的方程l l（2） 过 的焦点 F，交 与 两点，求: 弦长 ； 以 为直径的圆的方,AB,程。21、 （12 分）如图：在等腰三角形 中， 是梯形的高，CDEF,A,现将梯形 折起，使 ，且 ，得一简单2,AEBF,B/EFB2A组合体 。如图（2）所示：已知 分别为 的中点。CDMN,D（1）求证： 平面/MNF（2）若有直线 与平面
8、 所成角的正切值为 ，则求平面 与平面 所EAB2CEFAD成的锐二面角的大小22、 （12 分）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值Ex为 ，离心率 。212e（1）求椭圆 的方程（2）过点 作直线 交 于 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，(,0)lE,PQxM为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由。MPQ- 5 -命题人：芮城中学 王晓娟- 6 -运城中学、芮城中学20182019 学年第一学期期末考试高二数学试题（理）答案2019.1一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1-5ACBDB 6-10ADBBC
9、 11-12CA二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、 14、-1 15、 16、1m2174237或 或17、(10 分)解： 真： 得 或p()0kk1真：qkx是 的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件qp，则有 或,14k或 105k118、解：（1）由 得cosinxy的极坐标方程为1C2的极坐标方程为 522cos4in0（2）将 代入 得4解得3012,又 的半径为 1，122MN2C212SCMN另解： 即3:4yx则 的圆心到 的距离2l21, 2d112S- 7 -19、解：（1）有题意知， 两两互相垂直，以 为原点建立空间11,CAB1C直角
10、坐系如图所示，则 1(20)(),(20,4)(,)设 分别为 和 的重心(0,)4,Da,MND1AB28,()33aMN8(,)0,BCAN（2） 在 上的射影为 面CBDMCABD又4(,)3aM2,0(2,4)Aa得 得 （舍）0A(3,6a22,(,)(,)aDN易知面 的法向量为AB2,)3CM设 与平面 所成角为 则4816429sin 3239AA与平面 所成角的正弦值为DNB320、 （1）若 的斜率不存在，则 符合1l:1lx若 的斜率存在，设斜率为 ， 2l k()y由 联立得2()4ykx240x或160k1或 5:lyx综上： 或 或 6yx- 8 -（2）焦点 设(
11、0,1):1Flyx， 12(,),)AxyB得24yx212606又 .9128ABypB以 为直径的圆：半径 4rA设 中点 ，则M0(,)xy0032x圆心 所求圆的方程为23（ ， ） 2（ ） +(y-)=16综上， 所求圆的方程为 128ABx2（ ）21、 （1）证明：连 ， 四边形 是矩形， 为 的中点， 为 的中点。CABDNBNAC在 中， 为 的中点，故F/CF平面 ， 平面 ， 平面MN/M（2）依题意知 ， 且 4DABAEBA平面 ， 在面 上的射影是FFE就是 与平面 所成的角E故在 中， , Rt2tanD2过点 在平面 内作 于ABAPE分别以 ， ， 所在的
12、直线为 轴建立空间直角坐标系,xyz则 (0,)(,2),(,0)(32,0)DF,(2,0)DDC分别是平面 与平面 的法向量(,)(,)mxyznrstAE令 ，0,ACE- 9 -即 202r0,zxyst取 ，则(1,)(,1)mn 1co,2mn平面 与平面 所成的锐二面角的大小为.12ADECF322、解析：（1）设椭圆 的方程为 ，21xyab由已知得： 2 分212cxyaba椭圆 的方程为 3 分22,1ccE21xy（2）假设符合存在条件的点 ，又设 则(,0)Mm12(,)(,)PQ1112 12(,),MPxyQxyxmy5 分22m 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，则由l l(1),ykx，得21()xyk22(1)0xk6 分2222212144(),kkxxA22211212()()ykxkk所以 2 222 24(41)()1mkMPQmA8 分对于任意的 值， 为定值，所以 ，得 ，k22()54- 10 -所以 57(,0);416MPQ10 分 当直线 的斜率不存在时，直线l 121212:,lxxy由 得 ，综上述知，符合条件的点 存在，其坐标54m716 M为 12 分(,0)
