1、- 1 -第 7 节动能和动能定理一、动能 1大小： Ek mv2。122单位：国际单位制单位为焦耳，1 J1Nm1 kgm 2/s2。3标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向，只有正值，没有负值。二、 动能定理1推导：如图所示，物体的质量为 m，在与运动方向相同的恒力 F 的作用下发生了一段位移 l，速度由 v1增加到 v2，此过程力 F 做的功为 W。2内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。1物体由于运动而具有的能量叫做动能，表达式为Ek mv2。动能是标量，具有相对性。122力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，这个结论叫动能定理，表达式
2、为WE k2E k1。3如果物体同时受到几个力的共同作用，则 W 为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。4动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。- 2 -3表达式： W Ek2 Ek1。4适用范围：既适用于恒力做功也适用于变力做功；既适用于直线运动也适用于曲线运动。1自主思考判一判(1)速度大的物体动能也大。()(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。()(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。()(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。()(5)物体的动能增加，合外力做正功。()2合作探究议一议(1)歼15 战机是我国自主研发的第一
3、款舰载战斗机，如图所示：歼15 战机起飞时，合力做什么功？速度怎么变化？动能怎么变化？歼15 战机着舰时，动能怎么变化？合力做什么功？增加阻拦索的原因是什么？提示：歼15 战机起飞时，合力做正功，速度、动能都不断增大。歼15 战机着舰时，动能减小，合力做负功。增加阻拦索是为了加大对飞机的阻力。(2)骑自行车下坡时，没有蹬车，车速却越来越快，动能越来越大，这与动能定理相矛盾吗？提示：不矛盾。人没蹬车，但重力却对人和车做正功，动能越来越大。对动能、动能定理的理解1动能的特征(1)动能是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。(2)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能就不同
4、，一般以地面为参- 3 -考系。2对动能定理的理解(1)表达式 W Ek中的 W 为外力对物体做的总功。(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。1(全国卷)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔 t 内位移为 s，动能变为原来的 9 倍。该质点的加速度为( )A. B. C. D.st2 3s2t2 4st2 8st2解析：选 A 质点在时间 t 内的平均速度 v ，设时间 t 内的初、末速度分别为 v
5、1和stv2，则 v ，故 。由题意知： mv229 mv12，则 v23 v1，进而得出v1 v22 v1 v22 st 12 122v1 。质点的加速度 a 。故选项 A 正确。st v2 v1t 2v1t st22(多选)一质量为 0.1 kg 的小球，以 5 m/s 的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )A v10 m/s B v0C Ek1 J D Ek0解析：选 AD 小球速度变化 v v2 v15 m/s(5 m/s)10 m/s，小球动能的变化量 Ek mv22 mv120。故 A
6、、D 正确。12 123下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )A物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化B若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零- 4 -C物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化D物体的动能不变，所受的合外力必定为零解析：选 C 力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B 错误。物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度也一定变化，C 正确。物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D 错误。动能定理的应用1应用动能定理解题的基本思路2动能定理的优越性牛
7、顿运动定律 动能定理适用条件只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用应用方法 要考虑运动过程的每一个细节只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能运算方法 矢量运算 代数运算相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析结论应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错典例 如图所示，用一块长 L11.0 m 的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高 H0.8 m，长 L21.5 m。斜面与水平桌面的倾角 可在 060间调节后固定。将质量 m0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数 10.05，物
8、块与桌面间的动摩擦因数为 2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取 g10 m/s2；最- 5 -大静摩擦力等于滑动摩擦力)(1)求 角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)(2)当 角增大到 37时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数 2；(已知 sin 370.6，cos 370.8)(3)继续增大 角，发现 53时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离 xm。思路点拨 解答本题时应注意以下两点(1)物块要沿斜面下滑的临界条件是 mgsin 1mgcos 。(2)物块平抛的水平距离与桌子长度之和为落地点到墙面的最大距离。解析 (1)为使小物块下
9、滑，应有 mgsin 1mgcos 满足的条件 tan 0.05即当 arctan 0.05 时物块恰好从斜面开始下滑。(2)克服摩擦力做功 Wf 1mgL1cos 2mg(L2 L1 cos )由动能定理得 mgL1sin Wf0代入数据得 20.8。(3)由动能定理得 mgL1sin Wf mv212代入数据得 v1 m/s由平抛运动规律得 H gt2， x1 vt12解得 t0.4 s， x10.4 mxm x1 L21.9 m。答案 (1)arctan 0.05 (2)0.8 (3)1.9 m动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方
10、法，同一个问题，用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。(2)通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力做功或多过程等问题，一般要用动能定理解决。 1一辆汽车以 v16 m/s 的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行 s13.6 m，如果以 v28 m/s 的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离 s2应为( )- 6 -A6.4 m B5.6 mC7.2 m D10.8 m解析：选 A 法一：急刹车后，汽车做匀减速运动，且两种情况下加速度大小是相同的，由运动学公式可得 v122 as1 ， v222 as2 ，两式相比得 。故汽车滑行距
11、离 s2 s1 23.6 m6.4 m。s1s2 v12v22 v22v12 (86)法二：急刹车后，水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零。 Fs10 mv12 ， Fs20 mv22 ，12 12式除以式得 。故汽车滑行距离s2s1 v22v12s2 s1 23.6 m6.4 m。v22v12 (86)2.一质量为 m 的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点，小球在水平力 F 作用下从平衡位置P 点很缓慢地移动到 Q 点，如图所示。则力 F 所做的功为( )A mglcos B Flsin C mgl(1cos )D Fl(1sin )解析：
12、选 C 小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻均可看作是平衡状态，力 F的大小在不断变化， F 做功是变力做功。小球上升过程只有重力 mg 和 F 这两个力做功，由动能定理得 mg(l lcos ) WF0，所以 WF mgl(1cos )。3一架喷气式飞机，质量为 m510 3 kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程为x5.310 2 m 时(做匀加速直线运动)，达到起飞速度 v60 m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的 k 倍( k0.02)，求飞机受到的牵引力。解析：以飞机为研究对象，它受到重力、支持力、牵引力和阻力作用，这四个力做的功分别为 WG0， W 支 0， W 牵
13、Fx， W 阻 kmgx。由动能定理得 Fx kmgx mv2012解得 F kmg = N1.810 4 N。mv22x (0.02510310 510360225.3102)答案：1.810 4 N应用动能定理求解多过程问题典例 如图所示， ABCD 为一竖直平面内的轨道，其中 BC 水平， A 点比 BC 高出 10 - 7 -m， BC 长 1 m， AB 和 CD 轨道光滑。一质量为 1 kg 的物体，从 A 点以 4 m/s 的速度开始运动，经过 BC 后滑到高出 C 点 10.3 m 的 D 点速度为 0。求：(取 g10 m/s 2)(1)物体与 BC 轨道间的动摩擦因数。(2
14、)物体第 5 次经过 B 点时的速度。(3)物体最后停止的位置(距 B 点多少米)。思路点拨 (1)重力做功与物体运动路径无关，其大小为 mg h，但应注意做功的正、负。(2)物体第 5 次经过 B 点时在水平面 BC 上的路径为 4sBC。解析 (1)由动能定理得 mg(h H) mgs BC0 mv12，解得 0.5。12(2)物体第 5 次经过 B 点时，物体在 BC 上滑动了 4 次，由动能定理得 mgH mg 4sBC mv22 mv12，12 12解得 v24 m/s13.3 m/s。11(3)分析整个过程，由动能定理得mgH mgs 0 mv12，12解得 s21.6 m。所以物
15、体在轨道上来回运动了 10 次后，还有 1.6 m，故距 B 点的距离为 2 m1.6 m0.4 m。答案 (1)0.5 (2)13.3 m/s (3)距 B 点 0.4 m物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则可使问题简化。1(多选)如图所示为一滑草场。某条滑道由上下两段高均为 h，与水平面倾角分别为45和 37的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为 。质量为 m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草- 8 -车在两段滑道交
16、接处的能量损失，sin 370.6，cos 370.8)。则( )A动摩擦因数 67B载人滑草车最大速度为2gh7C载人滑草车克服摩擦力做功为 mghD载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为 g35解析：选 AB 由题意知，上、下两段斜坡的长分别为 s1 、 s2hsin 45 hsin 37由动能定理(或功能关系)知：2mgh mgs 1cos 45 mgs 2cos 370解得动摩擦因数 ，选项 A 正确；67载人滑草车在上下两段的加速度分别为a1 g(sin 45 cos 45) g， a2 g(sin 37 cos 37) g，214 335则在下落 h 时的速度最大，由动能定理知：mg
17、h mgs1cos 45 mv212解得 v ，选项 B 正确，D 错误；2gh7载人滑草车克服摩擦力做的功与重力做功相等，即 W2 mgh，选项 C 错误。2从离地面 H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的 k(k1)倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度。(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程。解析：(1)设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是 h，则由动能定理得 mg(H h) kmg(H h)0，解得 h H。1 k1 k(2)设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是 s，对全过程由动能定理得- 9 -mgH kmgs0，解得 s 。Hk答案：(1) H (2)1 k1 k Hk
