1、- 1 -第 3 节简谐运动的回复力和能量1.如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。2回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置。3在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅越大，机械能就越大。4简谐运动中，在平衡位置处动能最大，势能最小，最大位移处动能为 0，势能最大。一、简谐运动的回复力1简谐运动如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。2回复力使振动物体回到平衡位置的力。3回复力的方向总是指向平衡位置。4回复力的表达式F kx。即回复力与物体的位移大小成正比，
2、 “”号表明回复力与位移方向始终相反，k 是一个常数，由简谐运动系统决定。二、简谐运动的能量1振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。2简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。- 2 -1自主思考判一判(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。()(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。()(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。()(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因
3、此能量一定为零。()(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。()2合作探究议一议(1)简谐运动的回复力 F kx 中， k 一定是弹簧的劲度系数吗？提示：不一定。 k 是一个常数，由简谐运动系统决定。对于一个特定的简谐运动系统来说 k 是不变的，但这个系统不一定是弹簧振子， k 也就不一定是劲度系数。(2)在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？提示：在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。对回复力和加速度的理解1回复力的来源
4、(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。2关于 k 值：公式 F kx 中的 k 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数 k 由振动系统自身决定。3加速度的特点：根据牛顿第二定律得 a x，表明弹簧振子做简谐运动时，振Fm km子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位
5、移方向相反。4回复力的规律：因 x Asin(t )，故回复力 F kx kAsin(t )，可- 3 -见回复力随时间按正弦规律变化。典例 多选如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为 k1和 k2，且 k1 k， k22 k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在 B、 C 间振动， O 为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对 O 点的位移为 x，则下列判断正确的是( )A物体做简谐运动， OC OBB物体做简谐运动， OC OBC物体所受合力 F kxD物体所受合力 F3 kx思路点拨 通过题图可以得到以下信息：(1)振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，
6、且两弹力的方向相同。(2)物体做简谐运动时其振动范围关于 O 点对称。解析 物体的位移为 x，则物体所受的合力 F k1x k2x( k2 k1)x3 kx，D正确，C 错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得 OC OB，A 正确，B 错误。答案 AD判断一个振动为简谐运动的方法根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：(1)通过对位移的分析，列出位移时间表达式，利用位移时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足 F kx 进行判断。(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学
7、特征 a xkm进行判断。 1.在水平方向上做简谐运动的弹簧振子如图所示，受力情况是( )A重力、支持力和弹簧的弹力B重力、支持力、弹簧弹力和回复力C重力、支持力和回复力D重力、支持力、摩擦力和回复力解析：选 A 回复力是按作用效果命名的力，它由弹力或其他力或几个力的合力或分力等来充当。本题中水平弹簧振子受重力、杆的支持力和弹簧的弹力(振子做简谐运动，杆光滑不受摩擦力)，弹簧的弹力提供回复力。- 4 -2对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )解析：选 C 由简谐运动的回复力公式 F kx 可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图 C 所示。3.如图所示，竖直轻
8、弹簧两端分别与物块 A、 B 相连，物块 A、 B 所受重力均为 mg，物块 B 放在固定于水平面上的压力传感器上，物块 A 在初始位置处于平衡状态。现对物块 A 施以大小为 F mg 的力将其下压一段距离 x 保持静止，然后撤去力 F，当物块 A 向上运动到初始位置上方距离也是 x 时( )A压力传感器的读数是零B压力传感器的读数是 mg/2C压力传感器的读数是 2mgD压力传感器的读数是 mg解析：选 D 设物块 A 在初始位置时弹簧的压缩量为 x0，对 A 列平衡方程： mg kx0施加力 F 后， A 的平衡方程为F mg k(x x0)又由于 F mg由得 kx mg，撤去力 F 的
9、瞬间，物块 A 所受的回复力 F 回 k(x x0) mg kx当物块 A 向上运动到初始位置上方距离也是 x 时，由对称性知 F 回 kx，而 kx mg，可见物块 A 所受弹簧弹力恰好为零，以物块 B 为研究对象，受力分析知压力传感器对物块 B 的支持力为 mg，故压力传感器的读数是 mg，故选项 D 正确。简谐运动中各物理量的变化规律1根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下：振子的运动 A O O A A O O A方向 向右 向左 向左 向右位移大小 减小 增大 减小 增大方向 向左 向右 向右 向左回复力大小 减小 增大 减小 增大方向 向左 向右 向右 向左加速度大小
10、减小 增大 减小 增大方向 向左 向左 向右 向右速度大小 增大 减小 增大 减小振子的动能 增大 减小 增大 减小- 5 -弹簧的势能 减小 增大 减小 增大系统总能量 不变 不变 不变 不变2.各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。典例 把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 O 在 A、 B 间振动，如图所示，下列结论正确的是( )A小球在 O 位置时，动能最大，加速度最小B小球在 A、 B 位置时，动能最大，加速度最大C小球从 A 经 O 到 B 的过程中，回
11、复力一直做正功D小球从 B 到 O 的过程中，振子振动的能量不断增加思路点拨(1)细杆光滑，说明小球在振动过程中受重力、细杆的支持力、弹簧的弹力作用。(2)小球在简谐运动过程中只有弹簧弹力做功。解析 小球在平衡位置 O 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A 项正确；在最大位移 A、 B 处，动能为零，加速度最大，B 项错误；由 A O，回复力做正功，由 O B，回复力做负功，C 项错误；由 B O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D 项错误。答案 A1.在水平方向上做简谐运动的质点其振动图像如图所示，假设向右为正方向，则物体加速度向右且速度也向右的时间是( )
12、A01 s 内 B12 s 内C23 s 内D34 s 内解析：选 D 由题图可知：34 s 内质点正在从负向最大位移向平衡位置振动，结合振动示意图，知该过程为从 B O，速度向右，由于简谐运动回复力总指向平有关简谐运动的两点提醒(1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处， F、 a、 Ep最大， Ek0；在平衡位置， F0， a0， x0， Ep0，而 Ek最大。(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。 - 6 -衡位置，故该过程加速度方向也向右。2如图所示，一弹簧振子在 A、 B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振子的
13、质量为M。(1)简谐运动的能量取决于_，本题中物体振动时_能和_能相互转化，总_守恒。(2)多选关于振子在振动过程中，以下说法中正确的是( )A振子在平衡位置，动能最大，势能最小B振子在最大位移处，势能最大，动能最小C振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D在任意时刻，动能与势能之和保持不变解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。(2)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以 B 正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能
14、最大，势能最小，所以 A 正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项 C 错误。答案：(1)振幅 动 弹性势 机械能(2)ABD简谐运动的三大特征1瞬时性做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由 F kx 可知回复力不同。由牛顿第二定律得 a x，可知加速度 a 也不相同，也就是说 a、 F、 x 具有瞬km时对应性。2对称性(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。(2)对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位
15、置再运动到该点的对称点所用的时间相等。3周期性简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：(1)若 t2 t1 nT，则 t1、 t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。- 7 -(2)若 t2 t1 nT ，则 t1、 t2两时刻描述运动的物理量( x、 F、 a、 v)大小均相等、方T2向相反(或均为零)。1如图甲所示为某个质点做简谐运动的 xt 图像，对图乙的下列判断正确的是( )A图(1)可作为 vt 图像 B图(2)可作为 Ft 图像C图(3)可作为 Ft 图像 D图(4)可作为 at 图像解析：选 C t0 时刻，振子在平衡位置，速度最大且沿 x 轴的正方向，故
16、 A 错。根据回复力 F kx 和牛顿第二定律，加速度和回复力总与位移方向相反，且与位移大小成正比，所以 C 正确。2.多选一个弹簧振子，做简谐运动的周期为 T，设 t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到 t2时刻，振子的速度与 t1时刻的速度大小相等、方向相同，若 t2 t1FNOFNa。即当振动平台运动到最低点时，平台对物体的支持力最大，根据牛顿第三定律，此时物体对平台的压力最大。6.多选如图是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )A从 t1到 t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小B从 t2到 t3时间内振幅不断增大C t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大D t1、 t4时刻
17、振子的动能、速度都相同解析：选 AC t1到 t2时间内， x 减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A 正确；振幅是离开平衡位置的最大距离，简谐运动的振幅保持不变，从 t2到 t3，变化- 10 -的是位移而不是振幅，B 错误； t3时刻振子位移为零，处于平衡位置处，速度最大，动能最大，C 正确； t1、 t4时刻位移相同，即振子处于同一位置，但运动方向相反，速度等大反向，动能相同，D 错误。7如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量 m0.5 kg，弹簧劲度系数 k240 N/m，将滑块从平衡位置 O 向左平移，将弹簧压缩 5 cm，静止释
18、放后滑块在 A、 B 间滑动，则：(1)滑块加速度最大是在 A、 B、 O 三点中哪点？此时滑块加速度多大？(2)滑块速度最大是在 A、 B、 O 三点中哪点？此时滑块速度多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为 0.3 J)解析：(1)由于简谐运动的加速度 a x，故加速度最大的位置在最大位移处的 AFm km或 B 两点，加速度大小 a x 0.05 m/s224 m/s 2。km 2400.5(2)在平衡位置 O 滑块的速度最大。根据机械能守恒，有 Epm mvm2，故 vm m/s1.1 m/s。12 2Epmm 20.30.5答案：(1) A 点或 B 点 24 m/s 2 (2)
19、O 点 1.1 m/s8.如图所示，在竖直悬挂的劲度系数为 k 的轻弹簧下端挂一个质量为 m的小球，有一个竖直向下的力将小球竖直拉向下方，当小球静止时拉力的大小为 F，若撤去拉力，小球便在竖直面内做简谐运动，求：(1)小球在最低点受到弹簧对它的弹力的大小；(2)小球经过平衡位置时弹簧的伸长量；(3)小球在振动过程中通过最高点时的加速度的大小和方向。解析：(1)由于撤去 F 前小球静止，故弹簧的弹力 FT F mg。(2)小球在平衡位置时弹力等于重力，故弹簧的伸长量为 x 。mgk(3)小球振动过程中在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，而在最低点，其合外力为 F，故在最高点时，加速度 a ，加速度方向竖直向下。Fm- 11 -答案：(1) F mg (2) (3) 竖直向下mgk Fm
