1、15.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 考情考向分析1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以选择题为主，低档难度.1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S | k360
2、 ， kZ(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)角度制和弧度制的互化：180rad,1 rad，1rad .180 (180 )(3)扇形的弧长公式： l| |r，扇形的面积公式： S lr | |r2.12 123任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，则 si
3、n y，cos x，tan (x0)yx三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限符号 第二象 第三象限符号 第四象2限符号 限符号sin R cos R tan Error! 4.三角函数线如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线概念方法微思考1总结一下三角函数值在各象限的符号规律提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函数坐标法定义中，若取点 P(x， y)是角 终边上异于顶点的任
4、一点，怎样定义角 的三角函数？提示 设点 P 到原点 O 的距离为 r，则 sin ，cos ，tan (x0)yr xr yx3题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( )(2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( )(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( )题组二 教材改编2P10A 组 T7角225_弧度，这个角在第_象限答案 二543P15T2若角 的终边经过点 Q ，则 sin _，cos _.(22， 22)答案 22 224P10A 组 T6一条弦的
5、长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案 3题组三 易错自纠5集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当 k2 n(nZ)时，2 n 2 n ，此时 表示的范围与 表 4 2 4 2示的范围一样；当 k2 n1 (nZ)时，2 n 2 n ，此时 表示 4 2的范围与 表示的范围一样，故选 C. 4 26已知点 P 在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为( )(32， 12)A. B. C. D.56 23 116 534答案 C解析 因为点 P 在第四象限，所以根据三角函数的定义可知 tan ，(32， 12) 1232 33又 ，所以 .(32， 2 )
6、 1167在 0 到 2 范围内，与角 终边相同的角是_43答案 23解析 与角 终边相同的角是 2k (kZ)，令 k1，可得与角 终边相同43 ( 43) 43的角是 .238函数 y 的定义域为_2cosx 1答案 (kZ)2k 3， 2k 3解析 2cos x10，cos x .12由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， x (kZ)2k 3， 2k 3题型一 角及其表示1下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )94A2 k45( kZ) B k360 (kZ)94C k360315( kZ) D k (kZ)54答案 C5解析 与角 的终边相同的角可
7、以写成 2k (kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，94 94所以只有答案 C 正确2设集合 MError!， NError!，那么( )A M NB MNC NMD M N答案 B解析 由于 M 中， x 18045 k9045(2 k1)45，2 k1 是奇数；k2而 N 中， x 18045 k4545( k1)45， k1 是整数，因此必有k4MN，故选 B.3终边在直线 y x 上，且在2，2)内的角 的集合为3_答案 53 ， 23 ， 3， 43 解析 如图，在坐标系中画出直线 y x，可以发现它与 x 轴的夹角是 ，在0,2)内，3 3终边在直线 y x 上的角有两个： ， ；
8、3 3 43在2，0)内满足条件的角有两个： ， ，故满足条件的角 构成的集合为23 53.53 ， 23 ， 3， 43 4若角 是第二象限角，则 是第_象限角 2答案 一或三解析 是第二象限角， 2 k0.则实数 a 的取值范围是( )A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3答案 A解析 cos 0，sin 0，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上Error! 2cosx 成立的 x 的取值范围是( )A. B.( 4， 2) ( ， 54) ( 4， )C. D. ( 4， 54) ( 4， ) (54， 32)答案 C解析 当 x 时，sin x0，cos x0，显然 sin
9、xcosx 成立；当 x 时，如图， 2， ) (0， 4OA 为 x 的终边，此时 sinx| MA|，cos x| OM|，sin xcos x；当 x 时，如图，( 4， 2)10OB 为 x 的终边，此时 sinx| NB|，cos x| ON|，sin xcosx同理当 x 时， ，54)sinxcosx；当 x 时，sin xcos x，故选 C.54， 2 )1下列说法中正确的是( )A第一象限角一定不是负角B不相等的角，它们的终边必不相同C钝角一定是第二象限角D终边与始边均相同的两个角一定相等答案 C解析 因为33036030，所以330角是第一象限角，且是负角，所以 A 错误
10、；同理330角和 30角不相等，但它们终边相同，所以 B 错误；因为钝角的取值范围为(90，180)，所以 C 正确；0角和 360角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以 D 错误2已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A1B4C1 或 4D2 或 4答案 C解析 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则Error! 解得Error!或Error!从而 4 或 1.lr 41 lr 22113若角 终边过点 P(4， m)，且 sin ，则 m 等于( )35A3B3C. D3163答案 B解析 sin ，且 m0，解得 m3.m16 m2 354点 P 从(1,0)出发
11、，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( )23A. B.(12， 32) ( 32， 12)C. D.(12， 32) ( 32， 12)答案 A解析 点 P 旋转的弧度数也为 ，由三角函数定义可知 Q 点的坐标( x， y)满足23xcos 23 ， ysin .12 23 325已知点 P(cos ，tan )在第二象限，则角 的终边在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 C解析 因为点 P(cos ，tan )在第二象限，所以Error! 所以角 的终边在第三象限，故选 C.6(2018嘉兴模拟)sin2cos3tan4 的值( )A小于 0
12、B大于 0C等于 0 D不存在答案 A解析 sin20，cos30，sin2cos3tan40，45所以 m .128下列命题中正确命题的个数是( )第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若 sin sin ，则 与 的终边相同；若 cos 0，则 是第二或第三象限的角A1B2C3D4答案 A解析 举反例：第一象限角 370不小于第二象限角 100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但 与 的终边不相同，故错；当 cos 1， 时，其既
13、不是 6 56 6 56第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知，只有正确9若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_答案 2解析 设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，正方形边长为 r，圆心角的2弧度数是 .2rr 210若角 的终边与直线 y3 x 重合，且 sin 0，又 P(m， n)是角 终边上一点，且|OP| ，则 m n_.10答案 2解析 由已知 tan 3， n3 m，又 m2 n210， m21.又 sin 0， m1， n3.故 m n2.11已知角 的终边上一点 P 的坐标为 ，则角 的最小正值为(sin 23， cos 23)_13答案
14、116解析 由题意知，点 P ， r1，所以点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得(32， 12)cos sin ，故 2 k (kZ)，所以 的最小正值为 .23 32 6 11612函数 y 的定义域为 _sinx 32答案 ， kZ2k 3， 2k 23 解析 利用三角函数线(如图)，由 sinx ，可知322k x2 k ， kZ. 3 2313.已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为_答案 Error!解析 在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，( 4， 56 )所求角的集合为Error!.14若角 的终边落在直线 y x 上，角 的终边与
15、单位圆交于点 ，且3 (12， m)sin cos 0，则 cos sin _.答案 3414解析 由角 的终边与单位圆交于点 ，得 cos ，又由 sin cos 0 知，(12， m) 12sin 0，因为角 的终边落在直线 y x 上，所以角 只能是第三象限角记 P 为角3 的终边与单位圆的交点，设 P(x， y)(x0， y0)，则| OP|1( O 为坐标原点)，即x2 y21，又由 y x 得 x ， y ，所以 cos x ，因为点 在单位圆312 32 12 (12， m)上，所以 2 m21，解得 m ，所以 sin ，所以 cos sin .(12) 32 32 3415
16、九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积 (弦矢矢 2)弧田(如图 1)由圆弧和其所对弦围成，12公式中“弦”指圆弧所对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，23半径为 3 米的弧田，如图 2 所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是_平方米(结果保留整数， 1.73)3答案 5解析 如题图 2，由题意可得 AOB ， OA3，所以在 Rt AOD 中，23 AOD ， DAO ， OD AO 3 ，可得 CD3 ，由 AD AOsin 3 3 6 12 12 32 32 32 3 ，可得 AB2 AD 3
17、.32 332 2332 3所以弧田面积 S (弦矢矢 2)12 5(平方米)12 (3332 94) 943 9816.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于 B 点，始边不动，终边运动15(1)若点 B 的横坐标为 ，求 tan 的值；45(2)若 AOB 为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合；(3)若 ，请写出弓形 AB 的面积 S 与 的函数关系式(0，23解 (1)根据题意可得 B ，tan .(45， 35) 34(2)若 AOB 为等边三角形，则 B 或 B ，(12， 32) (12， 32)当 B 时， ；(12， 32) 3当 B 时， .(12， 32) 3与角 终边相同的角 的集合是Error!.(3)若 ，(0，23则 S 扇形 r 2 ，12 12而 S AOB 11sin sin ，12 12故弓形 AB 的面积 S sin ， .12 12 (0， 23
