1、15.4 简单的三角恒等变换最新考纲 考情考向分析1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识题型选择、填空、解答均有可能出现，中低档难度.1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( )cos cos sin sin (C( )cos( )cos cos sin sin (
2、C( )sin( )sin cos cos sin (S( )sin( )sin cos cos sin (S( )tan( ) (T( )tan tan1 tan tantan( ) (T( )tan tan1 tan tan2二倍角公式sin2 2sin cos ；cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ；tan2 .2tan1 tan2概念方法微思考1诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？2提示 诱导公式可以看成和差公式中 k (kZ)时的特殊情形 22怎样研究形如 f(x) asinx bcosx 函数的性质？提示 先根据辅助角公式 asinx bcosx
3、 sin(x )，将 f(x)化成 f(x)a2 b2 Asin(x ) k 的形式，再结合图象研究函数的性质题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数 ， ，使等式 sin( )sin sin 成立( )(2)对任意角 都有 1sin 2.( )(sin 2 cos 2)(3)y3sin x4cos x 的最大值是 7.( )(4)公式 tan( ) 可以变形为 tan tan tan( )tan tan1 tan tan(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立( )题组二 教材改编2P127T2若 cos ， 是第三象限的角，则 sin 等于( )
4、45 ( 4)A B. C D.210 210 7210 7210答案 C解析 是第三象限角，sin ，1 cos235sin .( 4) 35 22 ( 45) 22 72103P131T5sin347cos148sin77cos58.答案 22解析 sin347cos148sin77cos58sin(27077)cos(9058)sin77cos58(cos77)(sin58)sin77cos58sin58cos77cos58sin77sin(5877)sin135 .224P146A 组 T4(2)tan10tan50 tan10tan50.3答案 33解析 tan60tan(1050)
5、 ，tan10 tan501 tan10tan50tan10tan50tan60(1tan10tan50) tan10tan50，3 3原式 tan10tan50 tan10tan50 .3 3 3 3题组三 易错自纠5. .sin47 sin17cos30cos17答案 12解析 原式sin30 17 sin17cos30cos17sin30cos17 cos30sin17 sin17cos30cos17 sin30 .sin30cos17cos17 126化简： .cos40cos251 sin40答案 2解析 原式cos40cos251 cos50 .cos40cos252sin25 c
6、os4022sin50 27已知 ，且 sin ，则 tan2 .(0， 2) ( 4) 210答案 247解析 方法一 sin ，得 sin cos ，( 4) 210 15 ，平方得 2sin cos ，(0， 2) 2425可求得 sin cos ，sin ，cos ，75 45 35tan ，tan2 .43 2tan1 tan2 247方法二 且 sin ，(0， 2) ( 4) 2104cos ，( 4) 7210tan ，tan .( 4) 17 tan 11 tan 43故 tan2 .2tan1 tan2 2478化简： .2sin sin2cos2 2答案 4sin 解析
7、4sin .2sin sin2cos2 22sin 2sin cos121 cos 4sin 1 cos 1 cos第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1(2018嘉兴检测)sin 215cos 215的值为( )A. B. C D32 12 32 12答案 C解析 sin 215cos 215(cos 215sin 215)cos30 ，故选 C.322已知 tan ，tan ，则 tan( )的值为( )( 6) 37 ( 6 ) 25A. B. C. D12941 129 141答案 D解析 tan ，tan ，( 6) 37 ( 6 ) 25tan(
8、 )tan ( 6) ( 6 )5tan( 6) tan( 6 )1 tan( 6)tan( 6 ) 1.37 251 37253已知 sin ， ，tan( ) ，则 tan( )的值为( )35 ( 2， ) 12A B. C. D211 211 112 112答案 A解析 ，cos ，tan ，( 2， ) 45 34又 tan ，12tan( )tan tan1 tan tan . 34 121 ( 12)( 34) 2114计算 的值为sin110sin20cos2155 sin2155答案 12解析 sin110sin20cos2155 sin2155sin70sin20cos31
9、0 .cos20sin20cos50 12sin40sin4012思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值题型二 和差公式的灵活应用命题点 1 角的变换6例 1(1)设 ， 都是锐角，且 cos ，sin( ) ，则 cos .55 35答案 2525解析 依题意得 sin ，1 cos2255因为 sin( ) ，35所以 ，所以 cos( ) .( 2， ) 45于是 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin .45 55 35 255 2525(2)(2018浙江名校联盟联考)已知
10、 sin ，则 cos 等于( )( 5 ) 14 (2 35)A B. C D.18 18 78 78答案 C解析 设 ，则 2 2 ，2 2 ， 5 25 35cos cos(2 )cos2 2sin 2 1(2 35) 1 .18 78命题点 2 三角函数式的变换例 2(1)化简： (00， 2 2 2 2cos .2 2cos4cos2 2 2又(1sin cos )(sin 2 cos 2) (2sin 2cos 2 2cos2 2)(sin 2 cos 2)72cos 2(sin2 2 cos2 2)2cos cos ， 2故原式 cos . 2cos 2cos2cos 2(2)原
11、式 sin102cos21022sin10cos10 (cos5sin5 sin5cos5) sin10cos102sin10 cos25 sin25sin5cos5 sin10cos102sin10 cos1012sin10 2cos10cos102sin10 cos10 2sin202sin10cos10 2sin30 102sin10cos10 2(12cos10 32sin10)2sin10 .3sin102sin10 32引申探究化简： (00，( 6) 45 ，sin . 6 ( 6， 2) ( 6) 35sin sin(2 12) 2( 6) 4sin2 cos cos2 sin
12、( 6) 4 ( 6) 4 sin cos 2 ( 6) ( 6) 222cos2( 6) 1 235 45 222(45)2 1 .12225 7250 17250(3)已知 sin ， ，则 .35 ( 2， ) cos22sin( 4)答案 75解析 cos22sin( 4)cos2 sin22(22sin 22cos )cos sin ，sin ， ，35 ( 2， )cos ，原式 .45 751(2018台州模拟)已知 cos 1，则 sin 等于( )( 6)A. B. C D12 32 12 32答案 C解析 因为 cos 1，所以 sin 0，则 sin( 6)sin cos
13、 cos sin sin ，故选 C. 6 6 6 12112(2018温州检测)已知 是第二象限角，且 tan ，则 sin2 等于( )13A B.31010 31010C D.35 35答案 C解析 因为 是第二象限角，且 tan ，13所以 sin ，cos ，1010 31010所以 sin2 2sin cos 2 ，1010 ( 31010) 35故选 C.3(2018衢州模拟)设 acos50cos127cos40sin127， b (sin5622cos56)， c ，则 a， b， c 的大小关系是( )1 tan2391 tan239A abc B bacC cab D a
14、cb答案 D解析 asin40cos127cos40sin127sin(40127)sin167sin13，b (sin56cos56) sin56 cos5622 22 22sin(5645)sin11，c cos 239sin 239cos78cos239 sin239cos239sin239 cos239cos239sin12，sin13sin12sin11， acb.4已知 为锐角，若 sin ，则 cos 等于( )( 6) 13 ( 3)A. B.26 16 3 28C. D.3 28 23 1612答案 A解析 由于 为锐角，且 sin ，( 6) 13则 cos ，( 6) 2
15、23则 cos cos( 3) ( 6) 6cos cos sin sin( 6) 6 ( 6) 6 ，故选 A.223 32 13 12 26 165(2018绍兴一中期中)已知 sin cos ，且 ，则 的值为( )12 (0， 2) cos2sin( 4)A B C. D.142 144 142 144答案 A解析 由 sin cos 可得 sin cos ，12 12即 sin ，可得 sin 0，2 ( 4) 12 ( 4) 24又 ，则 ，(0， 2) 4 (0， 4)可得 cos ，( 4) 1 sin2( 4) 144则 cos2sin( 4) sin(2 2)sin( 4)
16、 2cos 2sin( 4)cos( 4)sin( 4) ( 4) ，故选 A.1426已知 cos ，cos( ) ，且 ， ，则 cos( )的值为( )13 13 (0， 2)A B. C D.12 12 13 2327答案 D13解析 因为 ，所以 2 (0，)，(0， 2)因为 cos ，所以 cos2 2cos 2 1 ，13 79所以 sin2 ，1 cos22429而 ， ，所以 (0，)，(0， 2)所以 sin( ) ，1 cos2 223所以 cos( )cos2 ( )cos2 cos( )sin2 sin( ) .(79) ( 13) 429 223 23277已知锐
17、角 ， 满足 sin cos ，tan tan tan tan ，则16 3 3 ， 的大小关系是( )A 0， ， . 3 4 48(2018杭州二中期中)若 0 ， 0，cos ，cos ，则 2 2 ( 4 ) 13 ( 4 2) 33cos 等于( )( 2)A. B C. D33 33 539 69答案 C解析 因为 0 ， 0， 2 214所以 ， ， 4 4 34 4 4 2 2所以 sin ，sin ，( 4 ) 223 ( 4 2) 63所以 cos cos( 2) ( 4 ) ( 4 2)cos cos sin sin( 4 ) ( 4 2) ( 4 ) ( 4 2) ，故
18、选 C.13 33 223 63 5399. 的值是2cos10 sin20sin70答案 3解析 原式2cos30 20 sin20sin702cos30cos20 sin30sin20 sin20sin70 .3cos20cos20 310. .sin101 3tan10答案 14解析 sin101 3tan10 sin10cos10cos10 3sin10 .2sin10cos104(12cos10 32sin10) sin204sin30 10 1411(2018浙江第二次联盟校联考)已知 cos2 ，则 sin2 的值为( 4) 16答案 23解析 因为 cos2 ，所以 sin2
19、.( 4) 1 cos(2 2)2 1 sin22 16 2312已知 sin( )cos cos( )sin ， 是第三象限角，求 sin35的值( 54)解 依题意可将已知条件变形为15sin( ) sin ，sin .35 35又 是第三象限角，所以 cos .45所以 sin sin( 54) ( 4)sin cos cos sin 4 4 .35 22 45 22 721013若 ，且 3cos2 sin ，则 sin2 的值为( )( 2， ) ( 4 )A B.118 118C D.1718 1718答案 C解析 由 3cos2 sin 可得( 4 )3(cos2 sin 2 )
20、 (cos sin )，22又由 可知，cos sin 0，( 2， )于是 3(cos sin ) ，22所以 12sin cos ，故 sin2 .故选 C.118 171814已知 cos cos ，求 sin4 cos 4 的值( 4 ) ( 4 ) 14解 因为 cos cos( 4 ) ( 4 ) (22cos 22sin )(22cos 22sin ) (cos2 sin 2 ) cos2 .12 12 14所以 cos2 .12故 sin4 cos 4 2 2(1 cos22 ) (1 cos22 )16 .116 916 5815化简： .(3cos10 1sin170) c
21、os15 sin15cos15 sin15答案 4 3解析 原式 3sin10 cos10cos10sin10 1 tan151 tan152sin10 3012sin20tan45 tan151 tan45tan154tan(4515)4 .316设 ， 0，且满足 sin cos cos sin 1，求 sin(2 )sin( 2 )的取值范围解 由 sin cos cos sin 1，得 sin( )1，又 ， 0， ， 2Error!即 ， 2sin(2 )sin( 2 )sin sin( 2 )(2 2)cos sin sin .2 ( 4) ， 2 ，34 4 541 sin 1，2 ( 4)即取值范围为1,117
