1、15.6 正弦定理和余弦定理最新考纲 考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其应用.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在 ABC 中，若角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， R 为 ABC 外接圆半径，则定理 正弦定理 余弦定理内容(1) 2 RasinA bsinB csinC (2)a2 b2 c22 bccosA；b2 c2 a22 cacosB；c2 a2 b22 abcosC变形(3)a2 RsinA，b2 RsinB， c2 RsinC
2、；(4)sinA ，sin B ，sin Ca2R b2R；c2R(5)a b csin Asin Bsin C；(6)asinB bsinA，bsinC csinB，asinC csinA(7)cosA ；b2 c2 a22bccosB ；c2 a2 b22accosCa2 b2 c22ab2.在 ABC 中，已知 a， b 和 A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角2图形关系式 a bsinA bsinAb解的个数一解 两解 一解 一解3.三角形常用面积公式(1)S aha(ha表示边 a 上的高)；12(2)S absinC acsinB bcsinA；12 12 12(3)S r(
3、a b c)(r 为三角形内切圆半径)12概念方法微思考1在 ABC 中， A B 是否可推出 sinAsinB?提示 在 ABC 中，由 A B 可推出 sinAsinB.2如图，在 ABC 中，有如下结论： bcosC ccosB a.试类比写出另外两个式子提示 acosB bcosA c；acosC ccosA b.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( )(2)当 b2 c2 a20 时，三角形 ABC 为锐角三角形( )(3)在 ABC 中， .( )asinA a b csinA sinB sinC(4)在三角
4、形中，已知两边和一角就能求三角形的面积( )题组二 教材改编2P10B 组 T2在 ABC 中， acosA bcosB，则这个三角形的形状为答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得 sinAcosAsin BcosB，3即 sin2Asin2 B，所以 2A2 B 或 2A2 B，即 A B 或 A B ， 2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3P18T1在 ABC 中， A60， AC4， BC2 ，则 ABC 的面积为3答案 2 3解析 ，23sin60 4sinBsin B1， B90， AB2， S ABC 22 2 .12 3 3题组三 易错自纠4在 ABC 中，角 A
5、， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 c0，cos B1.bsinCc 403220 3角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在6设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c.若 b c2 a,3sinA5sin B，则 C.答案 23解析 由 3sinA5sin B 及正弦定理，得 3a5 b.又因为 b c2 a，4所以 a b， c b，53 73所以 cosCa2 b2 c22ab .(53b)2 b2 (73b)2253bb 12因为 C(0，)，所以 C .23题型一 利用正、余弦定理解三角形例 1(2018天津)在 ABC 中，内角 A， B，
6、 C 所对的边分别为 a， b， c.已知 bsinA acos.(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2A B)的值解 (1)在 ABC 中，由正弦定理 ，可得asinA bsinBbsinA asinB.又由 bsinA acos ，得 asinB acos ，(B 6) (B 6)即 sinBcos ，所以 tanB .(B 6) 3又因为 B(0，)，所以 B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理及 a2， c3， B ， 3得 b2 a2 c22 accosB7，故 b .7由 bsinA acos ，可得 sinA .(B 6) 217因为
7、 a0，所以 a2 b2 c2或 a b，故选 D.引申探究1本例(2)中，若将条件变为 a2 b2 c2 ab，且 2cosAsinBsin C，判断 ABC 的形状解 a2 b2 c2 ab，cos C ，a2 b2 c22ab 12又 00)又 BD ， DAB ，7 3所以由余弦定理，得( )2(3 k)2(2 k)223 k2kcos ，解得 k1，所以7 3AD2， AB3，sin ABD .ADsin DABBD 2327 217(2)因为 AB BC，所以 cos DBCsin ABD ，217所以 sin DBC ，所以 ，277 BDsin BCD CDsin DBC所以
8、CD .727732 4339命题点 3 解三角形的实际应用例 5(1)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高 AD 是 60m，则河流的宽度 BC 等于( )A240( 1)m B180( 1)m3 2C120( 1)m D30( 1)m3 3答案 C解析 如图，在 Rt ACD 中， CAD903060， AD60m，所以 CD ADtan6060 (m)3在 Rt ABD 中， BAD907515，所以 BD ADtan1560(2 )(m)3所以 BC CD BD60 60(2 )3 3120( 1)(m)3(2)如图，小明同学在山
9、顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30，45，且 BAC135，若山高AD100m，汽车从 B 点到 C 点历时 14s，则这辆汽车的速度约为 m/s.(精确到 0.1，参考数据： 1.414， 2.236)2 5答案 22.6解析 因为小明在 A 处测得公路上 B， C 两点的俯角分别为 30，45，所以 BAD60， CAD45，设这辆汽车的速度为 vm/s，则 BC14 v，在 Rt ADB 中， AB ADcos BAD200.在 Rt ADC 中， AC 100 .在 ABC 中，由余弦定理，ADcos60
10、 ADcos CAD 100cos45 2得 BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC，所以(14 v)2(100 )2102200 22100 200cos135，所以 v 22.6，所以这辆汽车的速度约为25010722.6m/s.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用 A B C 这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形
11、，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题跟踪训练 3 (1)在 ABC 中，cos 2 (a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边)，则 ABC 的B a c2c形状为( )A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案 B解析 cos 2 ，cos 2 ，B 1 cosB2 B a c2c(1cos B)c a c， acos Bc ，a2 c2 b22a2 a2 a2 c2 b2， a2 b2 c2， ABC 为直角三角形(
12、2)在平面四边形 ABCD 中， A B C75， BC2，则 AB 的取值范围是答案 ( ， )6 2 6 2解析 如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CF AD 交 AB 于点 F，则 BF0)，如果三角形有解，3则角 A 的取值范围是( )A00，且当 AB 与圆 C 相切时，角 A 取得最大值，此时 AB BC，则 sinA ，BCAC 23m4m 32又因为 ab，所以角 A 为锐角，所以角 A 的最大值为 60，综上所述，角 A 的取值范围为0A60，故选 A.3(2018金华十校模拟)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知
13、B30， ABC 的面积为 ，且 sinAsin C2sin B，则 b 的值为( )32A42 B423 3C. 1 D. 13 3答案 D解析 在 ABC 中，由 sinAsin C2sin B 结合正弦定理得 a c2 b， ABC 的面积为12acsinB ac ，解得 ac6，则在 ABC 中，由余弦定理得12 12 12 32b2 a2 c22 accosB( a c)22 ac2 accosB(2 b)2(2 )6，解得 b 1，故选3 3D.4在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知三个向量 m ， n(a， cos A2)， p 共线，则 ABC
14、 的形状为( )(b， cos B2) (c， cos C2)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 A解析 向量 m ， n 共线，(a， cos A2) (b， cos B2) acos bcos .B2 A2由正弦定理得 sinAcos sin Bcos .B2 A22sin cos cos 2sin cos cos .A2 A2 B2 B2 B2 A2则 sin sin .0 ，0 ，A2 B2 A2 2 B2 2 ，即 A B.A2 B2同理可得 B C. ABC 的形状为等边三角形故选 A.5已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，
15、若 cosC ， bcosA acosB2，223则 ABC 的外接圆面积为( )A4B8C9D36答案 C解析 c bcosA acosB2，由 cosC ，得 sinC ，再由正弦定理可得223 132R 6， R3，所以 ABC 的外接圆面积为 R29，故选 C.csinC6(2018浙东北联盟期中考试)在 200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为( )13A. m B. m4003 40033C. m D. m20033 2003答案 A解析 设山顶为 A，塔底为 C，塔顶为 D，过点 A 作 CD 的垂线，交 CD 的延长线于点 B(图略)，则易得
16、AB ， BD ABtan30 tan30 (m)，所以BCtan60 BCtan60 2003 33 2003CD BC BD200 (m)，故选 A.2003 40037在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若( a2 c2 b2)tanB ac，则角 B 的3值为答案 或 3 23解析 由余弦定理，得 cos B，a2 c2 b22ac结合已知等式得 cosBtanB ，32sin B ，又 0B， B 或 .32 3 238(2019台州调研)为了测量 A， C 两点间的距离，选取同一平面上 B， D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位：km)如图
17、所示，且 B D180，则 AC 的长为 km.答案 7解析 在 ABC 中，由余弦定理得 AC28 25 2285cos B，在 ACD 中，由余弦定理得AC23 25 2235cos D，由 cosDcos B 并消去 AC2得 cosB ，所以 AC7.129 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b2， B ， C ，则 ABC 的面 6 4积为14答案 13解析 b2， B ， C . 6 4由正弦定理 ，bsinB csinC得 c 2 ， A ，bsinCsinB22212 2 ( 6 4) 712sin Asin sin cos cos sin(
18、4 3) 4 3 4 3 .6 24则 S ABC bcsinA 22 1.12 12 2 6 24 310(2018诸暨模拟)如图，已知 ABC 中， AB8， AC5， BC7， AB 的中垂线交 BC 于点D，则 BD， ADC 的面积等于答案 5611 30311解析 记 AB 的中点为 E，在 ABC 中，由余弦定理得 cosB ，sin BAB2 BC2 AC22ABBC 1114 ， S ABC ABBCsinB10 ；在 Rt BDE 中， BE AB4，cos B 1 cos2B5314 12 3 12 BEBD ，因此 BD ， ， S ABD S ABC， S ADC S
19、 ABC .4BD 1114 5611 BDBC 811 811 311 3031111( 2018宁 波 模 拟 )在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 已 知 3asin C ccos A.(1)求 sinA 的值；(2)若 B ， ABC 的面积为 9，求 a 的值 4解 (1)因为 3asinC ccosA，所以 3sinAsinCsin CcosA，又因为 sinC0，所以 tanA ， A(0，)，1315所以 sinA .1010(2)由(1)知，cos A ，31010sinCsin( A B)sin .(A 4) 255由正
20、弦定理得 ， c2 a，ac sinAsinC 24 2因为 S ABC acsinB a2 a a29，12 12 2 22所以 a3.12(2018北京)在 ABC 中， a7， b8，cos B .17(1)求 A；(2)求 AC 边上的高解 (1)在 ABC 中，因为 cosB ，17所以 sinB .1 cos2B437由正弦定理得 sinA .asinBb 32由题设知 B， 2所以 0 A ， 2所以 A . 3(2)在 ABC 中，因为 sinCsin( A B)sin AcosBcos AsinB ，3314所以 AC 边上的高为 asinC7 .3314 33213在 AB
21、C 中， a2 b2 c22 absinC，则 ABC 的形状是( )3A不等腰的直角三角形 B等腰直角三角形C钝角三角形 D正三角形答案 D解析 易知 a2 b2 c2 a2 b2 a2 b22 abcosC2 absinC，即316a2 b22 absin ，由于 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时取等号，所以(C 6)2absin 2 ab，sin 1，故只能 a b 且 C ，所以 ABC 为正三角形(C 6) (C 6) 6 214已知 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a2 b2 c2 bc， a3，则ABC 的周长的最大值为( )A2 B6
22、C. D93 3答案 D解析 a2 b2 c2 bc， bc b2 c2 a2，cos A ， A(0，)，b2 c2 a22bc 12 A . a3，由正弦定理得 3 2 ， b2 sinB， c2 sinC，则asinA bsinB csinC 332 3 3 3a b c32 sinB2 sinC32 sinB2 sin 33 sinB3cos B33 3 3 3 (23 B) 36sin ， B ，当 B 时周长取得最大值 9.(B 6) (0， 23) 315(2018舟山中学模拟)已知锐角 A 是 ABC 的一个内角， a， b， c 是三角形中各角的对应边，若 sin2Acos
23、2A ，则下列各式正确的是( )12A b c2 a B b c2aC b c2 a D b c2 a答案 C解析 由 sin2Acos 2A 得 cos2Asin 2A ，12 12则 cos2A ，又 A ，2 A ， A ，12 (0， 2) 23 3 B C ， 3 23在 ABC 中，由正弦定理得 ，而 sinBsin Csin BsinasinA bsinB csinC b csinB sinC(23 B)sin B cosB sinB sin .32 12 3 (B 6)17又0 B ， B ，23 6 656 sin 1，即 sinBsin C ，12 (B 6) 32 3而 a (b c) (b c) ，sinAsinB sinC 323 b c2即 2a b c，故选 C.16(2018诸暨调研)在直角 ABC 中， A ， B ，点 P 在 ABC 内， 6 3 APC ， BPC ，设 PCA ，求 tan 的值23 2解 由题意知 AC BC， PBC PCA ，3 PC BCsin ，又 APC ， PAC ，23 3在 APC 中，由正弦定理得 ，PCsin PAC ACsin APC即 2，sinsin( 3 )化简得 2sin cos ，易知 cos 0，3tan .3218
