1、1重点增分专题四 三角函数的图象与性质全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷2018三角函数的最值及导数T 16三角函数单调性的应用T 10三角函数的零点问题T 152017 三角函数的图象变换T 9 三角函数的最值T 14余弦函数的图象与性质T 62016三角函数的图象变换与对称性T 7三角函数的图象变换T 14(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第 612 或 1416 题位置上三角函数的
2、定义、诱导公式及基本关系 考 点 一保 分 考 点 练 后 讲 评大稳定 常 规 角 度 考 双 基1. 在平面直角坐标系中，以 x 轴的非负半轴为角的始边，角三 角 函 数 的 定 义 及 应 用 ， 的终边分别与单位圆交于点 和 ，则 sin( )( )(1213， 513) ( 35， 45)A B.3665 4865C D.313 3365解析：选 D 因为角 ， 的终边分别与单位圆交于点 和 ，所以 sin (1213， 513) ( 35， 45) ，cos ，sin ，cos ，所以 sin( )sin cos cos 513 1213 45 35 sin .513 ( 35)
3、1213 45 33652. 若 tan ，则 sin4 cos 4 的值为( )同 角 三 角 函 数 的 关 系 式 及 应 用 12A B15 35C. D.15 352解析：选 B tan ，12sin 4 cos 4 (sin 2 cos 2 )(sin2 cos 2 )sin 2 cos 2 sin2 cos2sin2 cos2 .tan2 1tan2 1 353. 设函数 f(x)(xR)满足 f(x) f(x)sin x当 0 x0，当 26 n49 时， an0；当 76 n99 时， an0.2. 某一算法程序框图如图所示，则输出的 S 的值为( )与 算 法 交 汇 A.
4、 B32 32C. D03解析：选 A 由已知程序框图可知，该程序的功能是计算 Ssin sin sin 3 23sin 的值33 2 0173因为 sin ，sin sin sin ，sin sin 0， 3 32 23 ( 3) 3 32 33sin sin sin ，43 ( 3) 3 32sin sin sin ，53 (2 3) 3 32sin sin 20，而 sin sin sin ，63 73 (2 3) 3sin sin sin ，sin sin(2)sin ，所以函数值83 (2 23) 23 93呈周期性变化，周期为 6，且 sin sin sin sin sin sin
5、 3 23 33 43 530.634而 2 01763361，所以输出的 S3360sin .故选 A. 3 323. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代借 助 数 学 文 化 考 查 表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 (弦矢矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，12“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为 ，半径等于 4 m 的弧田，按照23上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A6 m 2 B9 m 2C12 m 2 D15 m 2解析：选 B 如图，由题意可得 AOB ， OA4，23在 Rt AOD 中，可得 AO
6、D ， DAO ， OD AO 42， 3 6 12 12于是矢422.由 AD AOsin 4 2 ， 3 32 3可得弦长 AB2 AD22 4 .3 3所以弧田面积 (弦矢矢 2) (4 22 2)4 29(m 2)故选 B.12 12 3 3考 点 二 三 角 函 数 的 图 象 与 解 析 式增 分 考 点 广 度 拓 展 题型一 由“图”定“式”例 1 (1)已知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0,00， 0,00， 0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定 A， B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M
7、，最小值为 m，则M A B， m A B，解得 B ， A .M m2 M m2(2)T 定 ：由周期的求解公式 T ，可得 .2 2T(3)点坐标定 ：一般运用代入法求解 值，注意在确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点” “谷点”与三个“中心点” 题型二 三角函数的图象变换例 2 (1)(2019 届高三湘东五校联考)将函数 f(x)sin 的图象上各点的(x 6)横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是( )A x B x12 12C x D x 3 23(2)(2018郑州第一次质量测试)若将函数 f(x)3sin(2 x )(
8、00，左移； 0，上移； k0，所以 00)的单调区间时，令 x z，得 y Asin z(或 y Acos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法利用函数 y Asin(x )的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 ， ytan( x )的2| |最小 正周期为 .| |(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻1210的对称中
9、心与对称轴之间的距离是 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周14 12期多练强化1若函数 f(x) sin(2x )cos(2 x )(00， | |0)的最小正周期为3 3.12(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 6y g(x)的图象，若 y g(x)在0， b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值解 (1) f(x)2sin x cos x (2sin2x 1)3sin 2 x cos 2x 2sin .3 (2 x 3)由最小正周期为 ，得 1，所以 f(x)2sin ，(2
10、x 3)由 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 3 2得 k x k ， kZ，12 512所以函数 f(x)的单调递增区间是 ， kZ.k 12， k 512(2)将 函 数 f(x)的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1 个 单 位 ， 得 到 y 2sin 2x 1 的 6图 象 ，所以 g(x)2sin 2 x1.令 g(x)0，得 x k 或 x k (kZ)，712 1112所以在0，上恰好有两个零点，若 y g(x)在0， b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可所以 b 的最小值为 4 .1112 5912解题方略解决三角函
11、数图象与性质综合问题的思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y Asin(x ) B(一角一函数)的形式；(2)把“ x ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y Asin(x ) B 的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题多练强化(2017山东高考)设函数 f(x)sin sin ，其中 00，| |0， 0)在区间 6上单调递增，则 的取值范围为( ) 4， 23A. B.(0，83 (0， 12C. D.12， 83 38， 2解析：选 B 法一：因为 x ，所以 x ， 4， 23 6因为函数 f(x)sin ( 0)在区间 上单调递增， 4， 23所以Error!
12、即Error!又 0，所以 00)高点为 P ，在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q ，则 f 的值为_( 6， 1) (512， 0) ( 2)解析：由题意得 ，所以 T，所以 2，T4 512 6 4将点 P 代入 f(x)sin(2 x )，( 6， 1)得 sin 1，所以 2 k( kZ)(2 6 ) 6又| | 6)，则 m 的最大值是 _ 1， 3218解析：由 x ，可知 3 x 3 m ， 6， m 56 3 3 f cos ，且 f cos 1，( 6) 56 32 (29)要使 f(x)的值域是 ， 1， 32需要 3 m ，即 m ， 3 76 29 518即 m 的
13、最大值是 .518答案：518三、解答题10(2018石家庄模拟)函数 f(x) Asinx 1( A0， 0)的最小值为1，其 6图象相邻两个最高点之间的距离为 .(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 ， f 2，求 的值(0， 2) ( 2)解：(1)函数 f(x)的最小值为1， A11，即 A2.函数 f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为 ，函数 f(x)的最小正周期 T， 2，故函数 f(x)的解析式为f(x)2sin 1.(2x 6)(2) f 2sin 12，( 2) ( 6)sin .( 6) 1200)，函数320f(x) mn ，直线 x x1， x x2是函数 y
14、 f(x)的图象的任意两条对称轴，且| x1 x2|3的最小值为 . 2(1)求 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间解：(1)因为向量 m(2sin x ，sin x )， n(cos x ，2 sin x )( 0)，3所以函数 f(x) mn 2sin x cos x sin x (2 sin x ) sin 3 3 32x 2 sin2x sin 2 x cos 2x 2sin .3 3 3 (2 x 3)因为直线 x x1， x x2是函数 y f(x)的图象的任意两条对称轴，且| x1 x2|的最小值为 ，所以函数 f(x)的最小正周期为 2，即 ，得 1. 2 2 22(2
15、)由(1)知， f(x)2sin ，(2x 3)令 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 3 2解得 k x k (kZ)，512 12所以函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 512， k 122.已知函数 f(x) sin 32x cos 4x sin 4x 1(00， 0 2)的距离为 ，且在 x 时取得最大值 1. 2 8(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x 时，若方程 f(x) a 恰好有三个根，分别为 x1， x2， x3，求0，98x1 x2 x3的取值范围解：(1)由题意， T2 ，故 2， 2 2所以 sin sin 1，(2 8 ) ( 4 )所以 2 k ， kZ，所以 2 k ， kZ. 4 2 4因为 0 ，所以 ，所以 f(x)sin . 2 4 (2x 4)(2)画出该函数的图象如图，当 a1 时，方程 f(x) a 恰好有三22个根，且点( x1， a)和( x2， a)关于直线 x 对称，点( x2， a)和( x3， a)关于直线 x 对 8 58称，所以 x1 x2 ， x3 ， 4 98所以 x1 x2 x3 ，54 118故 x1 x2 x3的取值范围为 .54， 118 )23
