1、11.2.1 常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x) c，(2) f(x) x，(3) f(x) x2，(4)f(x) ，(5) f(x) .1x x问题 1：函数 f(x) x 的导数是什么？提示： 1， y x f(x x) f(x) x x x x x当 x0 时， 1，即 x1. y x问题 2：函数 f(x) 的导数是什么？1x提示： y x f(x x) f(x) x 1x x 1x x ，x (x x)x(x x) x 1x2 x x当 x0 时， ，即 . y x 1x2 (1x) 1x21( kx b) k(k， b 为常数)；2 C0( C 为常数)；3(
2、x)1；4( x2)2 x；5( x3)3 x2；6. ；(1x) 1x27( ) .x12x基本初等函数的导数公式1( x ) x 1 ( 为常数)；2( ax) axln_a(a0，且 a1)；3(log ax) logae (a0，且 a1)；1x 1x ln a24(e x)e x；5(ln x) ；1x6(sin x)cos_ x；7(cos x)sin_ x.函数 f(x)log ax 的导数公式为 f( x)(log ax) ，当 ae 时，上述公式1x ln a就变形为(ln x) ，即 f(x)ln x 是函数 f(x)log ax 当 ae 时的特殊情况类似地，1x还有 f
3、(x) ax与 f(x)e x.对 应 学 生 用 书 P7求函数的导数例 1 求下列函数的导数(1)y x8；(2)y ；1x3(3)y x ；x(4)ylog 2x.思路点拨 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导精解详析 (1) y( x8)8 x7；(2)y ( x3 )3 x4 ；(1x3) 3x4(3)y( x )( x ) x ；x32 32 12 3x2(4)y(log 2x) .1xln 2一点通 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求
4、导公式求导1函数 ysin 的导数是_( 2 x)3解析： ysin cos x，所以 ysin x.( 2 x)答案：sin x2下列结论中不正确的是_若 y3，则 y0； cos ；(sin 3) 3 ；( 1x) 12x x若 y x，则 y1.解析：正确；sin ，而( )0，不正确；对于， ( x ) 3 32 32 ( 1x) 12 x ，正确；正确12 32 12x x答案：3求下列函数的导函数(1)y10 x；(2) ylog x；12(3)y ；(4) y 21.4x3 (sinx2 cosx2)解：(1) y(10 x)10 xln 10；(2)y(log x) ；12 1
5、xln 12 1xln 2(3) y x ，4x334 y( x ) x ；34 34 14 344x(4) y(sin cos )21x2 x2sin 2 2sin cos cos 2 1sin x，x x2 x2 x y(sin x)cos x.求函数在某一点处的导数例 2 求函数 f(x) 在 x1 处的导数16x5思路点拨 先求导函数，再求导数值4精解详析 f(x) x ，16x5 56 f( x) x ，(x56) ( 56) 116 f(1) .56一点通 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解4若函数 f(x) ，则 f(1)_.3
6、x解析： f( x)( )( x ) x ，3x13 13 23 f(1) .13答案：135若函数 f(x)sin x，则 f(6)_.解析： f( x)(sin x)cos x. f(6)cos 61.答案：16已知 f(x) 且 f(1) ，求 n.1nx 12解： f( x) ( x ) x 1 x ，(1nx) 1n 1n 1n 1n n 1n f(1) ，1n由 f(1) 得 ，得 n2.12 1n 12求切线方程例 3 已知曲线方程 y x2，求：(1)曲线在点 A(1,1)处的切线方程；(2)过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程思路点拨 (1)点 A 在曲线上，故直接求导数
7、，再求直线方程；(2) B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程精解详析 (1) y2 x，当 x1 时， y2，故过点 A(1,1)的切线方程为y12( x1)，即 2x y10.5(2) B(3,5)不在曲线 y x2上，可设过 B(3,5)与曲线 y x2相切的直线与曲线的切点为( x0， y0) y2 x，当 x x0时， y2 x0.故切线方程为 y x 2 x0(x x0)20又直线过 B(3,5)点，5 x 2 x0(3 x0)20即 x 6 x050.20解得 x01 或 x05.故切线方程为 2x y10 或
8、 10x y250.一点通 (1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：求曲线在点 P 处的切线方程， P 为切点，在曲线上；求过点 P 与曲线相切的直线方程， P 不一定为切点，不一定在曲线上(2)求曲线上某点( x0， y0)处的切线方程的步骤：求出 f( x0)，即切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简切线方程(3)求过点 P 与曲线相切的直线方程的步骤：设出切点坐标为( x0， y0)；写出切线方程 y y0 f( x0)(x x0)；代入点 P 的坐标，求出方程7已知直线 y x a 与曲线 yln x 相切，则 a 的值为_解析：设切点为 P(x0， y0)， y ，由题意得 1，
9、 x01，点 P 的坐标为1x 1x0(1,0)，把点 P 的坐标代入直线 y x a，得 a1.答案：18求曲线 y2 x21 的斜率为 4 的切线的方程解：设切点为 P(x0， y0)， y4 x，由题意知，当 x x0时， y4 x04，所以 x01.当 x01 时， y01，切点 P 的坐标为(1,1)故所求切线的方程为 y14( x1)，即 4x y30.61对公式 y xn的理解：(1)y xn中， x 为自变量， n 为常数；(2)它的导数等于指数 n 与自变量的( n1)次幂的乘积公式中 nQ，对 nR 也成立2在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)
10、对于公式(sin x)cos x，(cos x)sin x，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化(2)对于公式(ln x) 和(e x)e x很好记，但对于公式(log ax) logae 和( ax)1x 1x axln a 的记忆就较难，特别是两个常数 logae 与 ln a 很容易混淆对应课时跟踪训练(三)一、填空题1已知 f(x) x ，若 f(1)4，则 的值是_解析： f(x) x ， f( x) x 1 ， f(1) (1) 1 4. 4.答案：42过曲线 y 上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为_1x解析：设 P(x0， y0)，则 f( x0) 4.1x20所
11、以 x0 ，所以 P 或 P .12 (12， 2) ( 12， 2)答案： 或(12， 2) ( 12， 2)3已知 f(x) x2， g(x) x3，则适合方程 f( x)1 g( x)的 x 值为_解析：由导数公式可知 f( x)2 x， g( x)3 x2.所以 2x13 x2，即 3x22 x10.解之得 x1 或 x .13答案：1 或134设函数 f(x)log ax， f(1)1，则 a_.7解析： f( x) ， f(1) 1.1x ln a 1ln aln a1，即 a .1e答案：1e5已知直线 y kx 是曲线 yln x 的切线，则 k 的值等于_解析： y(ln x
12、) ，设切点坐标为( x0， y0)，1x则切线方程为 y y0 (x x0)1x0即 y xln x01.由 ln x010，知 x0e.1x0 k .1e答案：1e二、解答题6求下列函数的导数(1)ylg 2；(2)y2 x；(3)y ；x2x(4)y2cos 2 1.x解：(1) y(lg 2)0；(2)y(2 x)2 xln 2；(3)y( x ) x ；32 3212(4) y2cos 2 1cos x， y(cos x)sin x.x7已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y x2上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线y x2的切线方程解： y( x2)2 x，设切点为 M(
13、x0， y0)，则当 x x0时， y2 x0.又 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1而切线平行于 PQ， k2 x01，8即 x0 ，所以切点为 M ，12 (12， 14)所求的切线方程为 y x ，即 4x4 y10.14 128求曲线 y 和 y x2在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积1x解：由Error! 解得交点为(1,1) y ，(1x) 1x2曲线 y 在(1,1)处的切线方程为1xy1 x1，即 y x2.又 y( x2)2 x，曲线 y x2在(1,1)处的切线方程为y12( x1)，即 y2 x1.y x2 与 y2 x1 和 x 轴的交点分别为(2,0)，.(12， 0)所求面积 S 1 .12 (2 12) 34
